Contenido principal
4° Semestre Bachillerato
Curso: 4° Semestre Bachillerato > Unidad 5
Lección 2: Funciones polinomiales- Formas y características de funciones cuadráticas
- Ejemplos resueltos: formas y características de funciones cuadráticas
- Características de funciones cuadráticas: estrategia
- Vértice y eje de simetría de una parábola
- Encontrar características de funciones cuadráticas
- Calentamiento: formas y características de funciones cuadráticas
- Características de las funciones cuadráticas
- Grafica parábolas en todas las formas
- Comparar características de funciones cuadráticas
- Comparar puntos máximos de funciones cuadráticas
- Compara funciones cuadráticas
- Repaso de graficación de cuadráticas
- Utilizar la fórmula cuadrática: número de soluciones
- El discriminante para los tipos de soluciones de una cuadrática
- El discriminante de ecuaciones cuadráticas
- Relación entre la función cuadrática y su discriminante
- Repaso del discriminante
- Ceros y gráficas de polinomios
- Ceros y gráficas de polinomios
- Ceros de polinomios (forma factorizada)
- Intervalos postivos y negativos de polinomios
- Intervalos postivos y negativos de polinomios
- Introducción al comportamiento de polinomios en los extremos
- Comportamiento de polinomios en los extremos
- Comportamiento de funciones en los extremos y sus gráficas
- Comportamiento de polinomios en los extremos
© 2023 Khan AcademyTérminos de usoPolítica de privacidadAviso de cookies
Comportamiento de polinomios en los extremos
Aprende qué es el comportamiento de un polinomio en los extremos, y cómo podemos determinarlo a partir de la ecuación del polinomio.
En esta lección aprenderás qué es el "comportamiento en los extremos" de un polinomio, y cómo analizarlo a partir de una gráfica o de una ecuación polinomial.
¿Qué es el "comportamiento en los extremos"?
El comportamiento en los extremos de una función f describe el comportamiento de la gráfica de la función en los "extremos" del eje x.
En otras palabra, el comportamiento en los extremos de una función describe la tendencia de la gráfica si observamos el extremo derecho del eje x (a medida que x va plus, infinity) y a la izquierda del eje x (a medida que x va a minus, infinity).
Por ejemplo, considera la gráfica de la función f. Observa que al moverse hacia la derecha del eje x, la gráfica de f va hacia arriba. Esto significa que a medida que x crece más y más, f, left parenthesis, x, right parenthesis también crece más y más.
Matemáticamente escribimos esto así: cuando x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity. (Se lee como "cuando x tiende a infinito positivo, f, left parenthesis, x, right parenthesis tiende a infinito positivo.")
En el otro extremo de la gráfica, al moverse hacia la izquierda del eje x (imagina a x acercándose a minus, infinity), la gráfica de f va hacia abajo. Esto significa que a medida que x decrece más y más, f, left parenthesis, x, right parenthesis también se hace más y más negativa.
Matemáticamente escribimos esto así: cuando x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity. (Se lee como "cuando x tiende a infinito negativo, f, left parenthesis, x, right parenthesis tiende a infinito negativo.")
Comprueba tu comprensión
Determinar algebraicamente el comportamiento en los extremos
Podemos también determinar el comportamiento de una función polinomial en los extremos a partir de su ecuación. Esto es útil al tratar de graficar la función, pues saber el comportamiento en los extremos nos ayuda a visualizar la gráfica en "las orillas".
Para determinar el comportamiento de un polinomio f en los extremos a partir de su ecuación, podemos pensar en los valores de la función para valores grandes, positivos y negativos, de x.
Específicamente, respondemos estas dos preguntas:
- Cuando x, right arrow, plus, infinity, ¿a qué se aproxima f, left parenthesis, x, right parenthesis?
- Cuando x, right arrow, minus, infinity, ¿a qué se aproxima f, left parenthesis, x, right parenthesis?
Investigación: comportamiento de monomios en los extremos
Las funciones monomiales son polinomios de la forma y, equals, a, x, start superscript, n, end superscript, donde a es un número real y n es un número entero no negativo.
Examinemos algebraicamente el comportamiento en los extremos de varios monomios para ver si podemos sacar algunas conclusiones.
2) Considera el monomio f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared.
3) Considera el monomio g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 3, x, squared.
4) Considera el monomio h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed.
5) Considera el monomio j, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 2, x, cubed.
Concluir la investigación
Observa de qué manera el grado del monomio left parenthesis, start color #11accd, n, end color #11accd, right parenthesis y el coeficiente principal left parenthesis, start color #1fab54, a, end color #1fab54, right parenthesis afectan el comportamiento en los extremos.
Cuando n es par, el comportamiento de la función en ambos "extremos" es el mismo. El signo del coeficiente principal determina si ambos se aproximan a plus, infinity o si ambos se aproximan a minus, infinity.
Cuando n es impar, el comportamiento de la función en ambos "extremos" es opuesto. El signo del coeficiente principal determina cual es plus, infinity y cual es minus, infinity.
Esto se resume en la siguiente tabla.
| start color #11accd, n, end color #11accd es par y start color #1fab54, a, end color #1fab54, is greater than, 0 | start color #11accd, n, end color #11accd es par y start color #1fab54, a, end color #1fab54, is less than, 0 |
|---|---|
| Cuando x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity, y cuando x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity. | Cuando x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, y cuando x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, point |
| start color #11accd, n, end color #11accd es impar y start color #1fab54, a, end color #1fab54, is greater than, 0 | start color #11accd, n, end color #11accd es impar y start color #1fab54, a, end color #1fab54, is less than, 0 |
|---|---|
| Cuando x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, y cuando x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity. | Cuando x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity, y cuando x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, point |
Comprueba tu comprensión
Comportamiento de polinomios en los extremos
Ahora sabemos cómo determinar el comportamiento de monomios en los extremos. Pero ¿qué pasa con polinomios que no son monomios, funciones como g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 3, x, squared, plus, 7, x?
In general, el comportamiento de polinomios en los extremos es el mismo que el comportamiento del término principal en los extremos, es decir del término con el mayor exponente.
Así que el comportamiento en los extremos de g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 3, x, squared, plus, 7, x es el mismo que el comportamiento en los extremos del monomio minus, 3, x, squared.
Puesto que el grado de start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, x, start superscript, start color #11accd, 2, end color #11accd, end superscript es par left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis, y el coeficiente principal es negativo left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, el comportamiento en los extremos de g es: cuando x, right arrow, minus, infinity, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, y cuando x, right arrow, plus, infinity, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity.
Comprueba tu comprensión
¿Por qué el término principal determina el comportamiento en los extremos?
Esto es porque el término principal tiene el máximo efecto en los valores de la función, para valores grandes de x.
Exploremos esto aún más al analizar la función g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 3, x, squared, plus, 7, x para valores positivos grandes de x.
Cuando x se aproxima a plus, infinity, sabemos que minus, 3, x, squared se aproxima a minus, infinity y 7, x se aproxima a plus, infinity.
¿Pero cuál es el comportamiento en los extremos de la suma? Calculemos para algunos valores de x y veamos.
| x | minus, 3, x, squared | 7, x | minus, 3, x, squared, plus, 7, x |
|---|---|---|---|
| 1 | minus, 3 | 7 | 4 |
| 10 | minus, 300 | 70 | minus, 230 |
| 100 | minus, 30, comma, 000 | 700 | minus, 29, comma, 300 |
| 1000 | start color #ca337c, minus, 3, comma, 000, comma, 000, end color #ca337c | 7000 | start color #ca337c, minus, 2, comma, 993, comma, 000, end color #ca337c |
Observa que a medida que x se hace más grande, el polinomio se comporta como minus, 3, x, squared, point
Pero supongamos que el término x tiene un poco más de peso. ¿Qué pasa si en lugar de 7, x tenemos 999, x?
| x | minus, 3, x, squared | 999, x | minus, 3, x, squared, plus, 999, x |
|---|---|---|---|
| 10 | minus, 300 | 9, comma, 990 | 9, comma, 690 |
| 100 | minus, 30, comma, 000 | 99, comma, 900 | 69, comma, 900 |
| 1000 | minus, 3, comma, 000, comma, 000 | 999, comma, 000 | minus, 2, comma, 001, comma, 000 |
| 10, comma, 000 | start color #ca337c, minus, 300, comma, 000, comma, 000, end color #ca337c | 9, comma, 990, comma, 000 | start color #ca337c, minus, 290, comma, 010, comma, 000, end color #ca337c |
Nuevamente vemos que para valores grandes de x el polinomio se comporta como minus, 3, x, squared. Aunque se requiere un valor grande de x para ver la tendencia, esta se mantiene.
De hecho, no importa qué tan grande sea el coeficiente de x; para valores suficientemente grandes de x, ¡el término minus, 3, x, squared tendrá el maypr peso!
Problemas de desafío
¿Quieres unirte a la conversación?
en la respuesta de cada ejercicio que contiene como CUANDO X TIENDE A INFINITO POSITIVO, G(X) TIENDE A INFINITO POSITIVO, la respuesta tercera y cuarta es la misma en todos los casos, y dificulta la solucion(18 votos)
Así es. Hay un error en los numerales 2 y 4, pues repiten los numerales 1 y 3.(4 votos)
Mas de la mitad de problemas tienen errores, las mismas respuestas se repiten y practicamente hay que adivinar la correcta(10 votos)
¿Existe algún error en las respuestas?(4 votos)- si, y tambien en sus explicaciones aparentemente(1 voto)
en la pregunta 7 se tiene un error, favor de verificarlo
Cuando x \rightarrow +\inftyx→+∞x, right arrow, plus, infinity, f(x) \rightarrow +\inftyf(x)→+∞f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity, y cuando x \rightarrow -\inftyx→−∞x, right arrow, minus, infinity, f(x) \rightarrow +\inftyf(x)→+∞f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity.(2 votos)
El escoge de la pregunta #1 tiene un error(2 votos)
En la pregunta 6 dice que cuando x tiende a menos infinito, g(x) también tiende a menos infinito, y cuando x tiende a infinito, g(x) tiende a menos infinito. Si miras las opciones, ninguna es coherente con la respuesta.
El punto 7, 8 y 10 tiene solo dos opciones que se repiten 2 veces cada una.(2 votos)- esta difícil y lleva mucho tiempo(1 voto)
- Por favor, corregir estos errores! Gracias(1 voto)