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Contenido principal

Comportamiento de polinomios en los extremos

Aprende qué es el comportamiento de un polinomio en los extremos, y cómo podemos determinarlo a partir de la ecuación del polinomio.
En esta lección aprenderás qué es el "comportamiento en los extremos" de un polinomio, y cómo analizarlo a partir de una gráfica o de una ecuación polinomial.

¿Qué es el "comportamiento en los extremos"?

El comportamiento en los extremos de una función f describe el comportamiento de la gráfica de la función en los "extremos" del eje x.
En otras palabra, el comportamiento en los extremos de una función describe la tendencia de la gráfica si observamos el extremo derecho del eje x (a medida que x va +) y a la izquierda del eje x (a medida que x va a ).
Un polinomio etiquetado como y es igual a f de x está representado gráficamente en un plano de coordenadas x y. La gráfica se curva hacia arriba de izquierda a derecha pasando por el lado negativo del eje x, se curva hacia abajo a través del origen y luego hacia arriba a través del eje x positivo. Una flecha horizontal que apunta hacia la derecha etiquetada como x se vuelve más positiva. Una flecha vertical que apunta hacia arriba etiquetada como f de x se vuelve más positiva.
Por ejemplo, considera la gráfica de la función f. Observa que al moverse hacia la derecha del eje x, la gráfica de f va hacia arriba. Esto significa que a medida que x crece más y más, f(x) también crece más y más.
Matemáticamente escribimos esto así: cuando x+, f(x)+. (Se lee como "cuando x tiende a infinito positivo, f(x) tiende a infinito positivo.")
Un polinomio etiquetado como y es igual a f de x está representado gráficamente en un plano de coordenadas x y. La gráfica se curva hacia arriba de izquierda a derecha pasando por el lado negativo del eje x, se curva hacia abajo a través del origen y luego hacia arriba a través del eje x positivo. Una flecha horizontal que apunta hacia la izquierda etiquetada como x se vuelve más negativa. Una flecha vertical que apunta hacia abajo etiquetada como f de x se vuelve más negativa.
En el otro extremo de la gráfica, al moverse hacia la izquierda del eje x (imagina a x acercándose a ), la gráfica de f va hacia abajo. Esto significa que a medida que x decrece más y más, f(x) también se hace más y más negativa.
Matemáticamente escribimos esto así: cuando x, f(x). (Se lee como "cuando x tiende a infinito negativo, f(x) tiende a infinito negativo.")

Comprueba tu comprensión

1) Esta es la gráfica de y=g(x).
Un polinomio está representado gráficamente en un plano de coordenadas x y. La gráfica se curva hacia abajo de izquierda a derecha pasando por el lado negativo del eje x y se curva hacia arriba a través del eje x negativo. Se curva hacia abajo a través del eje x positivo.
¿Cuál es el comportamiento de g en los extremos?
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Determinar algebraicamente el comportamiento en los extremos

Podemos también determinar el comportamiento de una función polinomial en los extremos a partir de su ecuación. Esto es útil al tratar de graficar la función, pues saber el comportamiento en los extremos nos ayuda a visualizar la gráfica en "las orillas".
Para determinar el comportamiento de un polinomio f en los extremos a partir de su ecuación, podemos pensar en los valores de la función para valores grandes, positivos y negativos, de x.
Específicamente, respondemos estas dos preguntas:
  • Cuando x+, ¿a qué se aproxima f(x)?
  • Cuando x, ¿a qué se aproxima f(x)?

Investigación: comportamiento de monomios en los extremos

Las funciones monomiales son polinomios de la forma y=axn, donde a es un número real y n es un número entero no negativo.
Examinemos algebraicamente el comportamiento en los extremos de varios monomios para ver si podemos sacar algunas conclusiones.
2) Considera el monomio f(x)=x2.
Para valores positivos muy grandes de x, ¿qué describe mejor a f(x)?
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Para valores negativos muy grandes de x, ¿qué describe mejor a f(x)?
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3) Considera el monomio g(x)=3x2.
Para valores positivos muy grandes de x values, ¿qué describe mejor a g(x)?
Escoge 1 respuesta:

Para valores negativos muy grandes de x, ¿qué describe mejor a g(x)?
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4) Considera el monomio h(x)=x3.
Para valores positivos muy grandes de x values, ¿qué describe mejor a h(x)?
Escoge 1 respuesta:

Para valores negativos muy grandes de x, ¿qué describe mejor a h(x)?
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5) Considera el monomio j(x)=2x3.
Para valores positivos muy grandes de x values, ¿qué describe mejor a j(x)?
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Para valores negativos muy grandes de x, ¿qué describe mejor a j(x)?
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Concluir la investigación

Observa de qué manera el grado del monomio (n) y el coeficiente principal (a) afectan el comportamiento en los extremos.
Cuando n es par, el comportamiento de la función en ambos "extremos" es el mismo. El signo del coeficiente principal determina si ambos se aproximan a + o si ambos se aproximan a .
Cuando n es impar, el comportamiento de la función en ambos "extremos" es opuesto. El signo del coeficiente principal determina cual es + y cual es .
Esto se resume en la siguiente tabla.
Comportamiento de monomios en los extremos: f(x)=axn
n es par y a>0n es par y a<0
Cuando x, f(x)+, y cuando x+, f(x)+.
Una parábola está representada gráficamente en un plano de coordenadas x y. La gráfica se curva hacia abajo de izquierda a derecha tocando el origen antes de volver a curvarse hacia arriba. La parte superior de ambos lados de la parábola son sólidas. El centro de la parábola está punteado.
Cuando x, f(x), y cuando x+, f(x).
Una parábola está representada gráficamente en un plano de coordenadas x y. La gráfica se curva hacia arriba de izquierda a derecha tocando el origen antes de volver a curvarse hacia abajo. La parte inferior de ambos lados de la parábola son sólidas. El centro de la parábola está punteado.
n es impar y a>0n es impar y a<0
Cuando x, f(x), y cuando x+, f(x)+.
Una función cúbica está representada gráficamente en un plano de coordenadas x y. La gráfica se curva hacia arriba de izquierda a derecha pasando por el origen antes de volver a curvarse hacia arriba. La parte inferior y la parte superior de la gráfica son sólidas, mientras que la parte central de la gráfica está punteada.
Cuando x, f(x)+, y cuando x+, f(x).
Una función cúbica está representada gráficamente en un plano de coordenadas x y. La gráfica se curva hacia abajo de izquierda a derecha pasando por el origen antes de volver a curvarse hacia abajo. La parte superior y la parte inferior de la gráfica son sólidas, mientras que la parte central de la gráfica está punteada.

Comprueba tu comprensión

6) ¿Cuál es el comportamiento en los extremos de g(x)=8x3?
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Comportamiento de polinomios en los extremos

Ahora sabemos cómo determinar el comportamiento de monomios en los extremos. Pero ¿qué pasa con polinomios que no son monomios, funciones como g(x)=3x2+7x?
In general, el comportamiento de polinomios en los extremos es el mismo que el comportamiento del término principal en los extremos, es decir del término con el mayor exponente.
Así que el comportamiento en los extremos de g(x)=3x2+7x es el mismo que el comportamiento en los extremos del monomio 3x2.
Puesto que el grado de 3x2 es par (2), y el coeficiente principal es negativo (3), el comportamiento en los extremos de g es: cuando x, g(x), y cuando x+, g(x).

Comprueba tu comprensión

7) ¿Cuál es el comportamiento en los extremos de f(x)=8x57x2+10x1?
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8) ¿Cuál es el comportamiento en los extremos de g(x)=6x4+8x3+4x2?
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¿Por qué el término principal determina el comportamiento en los extremos?

Esto es porque el término principal tiene el máximo efecto en los valores de la función, para valores grandes de x.
Exploremos esto aún más al analizar la función g(x)=3x2+7x para valores positivos grandes de x.
Cuando x se aproxima a +, sabemos que 3x2 se aproxima a y 7x se aproxima a +.
¿Pero cuál es el comportamiento en los extremos de la suma? Calculemos para algunos valores de x y veamos.
x3x27x3x2+7x
1374
1030070230
10030,00070029,300
10003,000,00070002,993,000
Observa que a medida que x se hace más grande, el polinomio se comporta como 3x2.
Pero supongamos que el término x tiene un poco más de peso. ¿Qué pasa si en lugar de 7x tenemos 999x?
x3x2999x3x2+999x
103009,9909,690
10030,00099,90069,900
10003,000,000999,0002,001,000
10,000300,000,0009,990,000290,010,000
Nuevamente vemos que para valores grandes de x el polinomio se comporta como 3x2. Aunque se requiere un valor grande de x para ver la tendencia, esta se mantiene.
De hecho, no importa qué tan grande sea el coeficiente de x; para valores suficientemente grandes de x, ¡el término 3x2 tendrá el maypr peso!

Problemas de desafío

9*) ¿Cuál de las siguientes puede ser la gráfica de h(x)=8x3+7x1?
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10*) ¿Cuál es el comportamiento en los extremos de g(x)=(23x)(x+2)2?
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