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Contenido principal

Ceros y gráficas de polinomios

Aprende acerca de la relación entre ceros, raíces, e intersecciones de un polinomio con el eje x. Aprende sobre multiplicidades.

Lo que aprenderás en esta lección

Cuando estudias polinomios, con frecuencia escuchas términos como ceros, raíces e intersecciones con el eje x.
En este artículo exploraremos esas características de polinomios y la relación especial que existe entre ellas.

Conexiones fundamentales para funciones polinomiales

Para un polinomio f y un número real k, los siguientes enunciados son equivalentes:
  • x=k es una raíz, o solución, de la ecuación f(x)=0
  • k es un cero de la función f
  • (k,0) es una intersección de la gráfica de y=f(x) con el eje x
  • xk es un factor lineal de f(x)
Vamos a entender esto con el polinomio g(x)=(x3)(x+2), el cual puede escribirse como g(x)=(x3)(x(2)).
Para empezar, vemos que los factores lineales de g(x) son (x3) y (x(2)).
Si igualamos g(x)=0 y despejamos x, tenemos que x=3 o x=2. Estas son las soluciones, o raíces, de la ecuación.
Un cero de la función es un valor de x que hace que el valor de la función sea 0. Como sabemos que x=3 y x=2 son soluciones de g(x)=0, entonces 3 y 2 son ceros de la función g.
Finalmente, las intersecciones de la gráfica de y=g(x) con el eje x satisfacen la ecuación 0=g(x), que resolvimos antes. Las intersecciones con el eje x de la ecuación son (3,0) y (2,0).

Comprueba tu comprensión

1) ¿Cuáles son los ceros de f(x)=(x+4)(x7)?
Escoge 1 respuesta:

2) La gráfica de la función g cruza el eje x en (2,0). ¿Cuál debe ser una raíz de la ecuación g(x)=0?
x=
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

3) Los ceros de la función h son 1 y 3. ¿Cuál de las siguientes puede ser h(x)?
Escoge 1 respuesta:

Ceros y multiplicidad

Cuando un factor lineal aparece múltiples veces en la factorización de un polinomio, eso le da al correspondiente cero su multiplicidad.
Por ejemplo, en el polinomio f(x)=(x1)(x4)2, el número 4 es un cero de multiplicidad 2.
Observa que cuando desarrollamos f(x), el factor (x4) se escribe 2 veces.
f(x)=(x1)(x4)(x4)
Así que de alguna manera, cuando resuelves f(x)=0, obtienes x=4 dos veces.
0=(x1)(x4)(x4)x1=0x4=0x4=0x=1x=4x=4
En general, si xk aparece m veces en la factorización de un polinomio, entonces k es un cero de multiplicidad m. Un cero de multiplicidad 2 se llama cero doble.

Comprueba tu comprensión

4) ¿Cuál cero de f(x)=(x3)(x1)3 tiene multiplicidad 3?
Escoge 1 respuesta:

5) ¿Cuál cero de g(x)=(x+1)3(2x+1)2 es un doble cero?
Escoge 1 respuesta:

La conexión gráfica

La multiplicidad de un cero es importante porque nos indica cómo se comporta la gráfica del polinomio cerca del cero.
Por ejemplo, observa que la gráfica de f(x)=(x1)(x4)2 se comporta de una manera diferente cerca del cero en 1 que del cero en 4, que es un doble cero.
Específicamente. la gráfica cruza el eje x en x=1, y solo toca el eje x en x=4.
Veamos la gráfica de una función que tiene los mismos ceros pero diferentes multiplicidades. Por ejemplo, consideremos g(x)=(x1)2(x4). Observa que en esta función 1 es ahora un doble cero, mientras que 4 es un cero sencillo.
Ahora vemos que la gráfica de g toca el eje x en x=1 y cruza el eje x en x=4.
En general, si una función f tiene un cero de multiplicidad impar, la gráfica de y=f(x) cruza el eje x en ese valor de x. Si una función f tiene un cero de multiplicidad par, la gráfica de y=f(x) toca el eje x en ese punto.

Comprueba tu comprensión

6) En la gráfica de esta función, ¿la multiplicidad del cero en 6 es par o impar?
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7) ¿Cuál es la gráfica de h(x)=x2(x3)?
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Problema de desafío

8*) ¿Cuál es la gráfica de f(x)=x3+4x24x?
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