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El discriminante para los tipos de soluciones de una cuadrática

Transcripción del video

usa el discriminante para indicar el número y el tipo de soluciones de la ecuación menos 3x cuadrada más 5 x menos 4 igual a 0 y bueno lo primero que sería bueno saber es que es el discriminante de una ecuación cuadrática y para esto voy a poner aquí la ecuación cuadrática en forma estándar y también como era la fórmula cuadrática así que si yo tengo la ecuación a x cuadrada más bx más c igual a 0 es una ecuación cuadrática en su forma estándar y entonces como ya hemos visto en varios vídeos podemos decir que las soluciones las obtenemos con la fórmula cuadrática que era x igual a menos b más menos la raíz cuadrada de b cuadrada menos 4 hacemos todo esto dividido entre dos a ahora bien lo que quiero que recuerdes es de la importancia que tiene de cuadrada menos 4 ac en las soluciones de esta ecuación cuadrática porque ese cuadrado menos 4 hace nos indica qué clase de soluciones vamos a tener todo lo que está dentro de la raíz cuadrada es muy importante y es justo esto en lo que es el discriminante el discriminante es b cuadrado 4a cm y es bastante importante porque imagínate que ve cuadrada -4 hace es un número positivo de cuadrada menos 4 hace es mayor que 0 si esto es mayor que 0 entonces la raíz de un número mayor que 0 existen los números reales y entonces esto nos va a decir que tenemos dos soluciones en los números reales así que vamos a escribir le vamos a tener dos raíces reales dos soluciones reales bueno esto es cuando tenemos b cuadrada menos 4 hace mayor que 0 el segundo caso cuando b cuadrada menos 4 ac es igual a cero es decir que el discriminante sea igual a 0 importante cuenta que aquí tendría 0 y entonces la raíz cuadrada de 0 es 0 y solamente me quedaría una solución de la forma menos b entre 2 a porque date cuenta que la parte de arriba de esta fracción solamente me quedaría menos bien y entonces tenemos dos raíces iguales o dicho de otra manera solamente tenemos una solución mi única solución es menos de entre 2 am que por cierto es una solución real sólo podemos pensar como que mis dos soluciones son soluciones reales o también lo podemos pensar como que mis dos soluciones una misma es esta solución bueno esto en el caso de que ve cuadrada menos 40 sea igual a cero por eso es tan importante analizar el discriminante pero también tenemos el tercer caso donde b cuadrada menos 4 ac es menor que cero y si tenemos algo menor que cero dentro de una raíz cuadrada entonces la raíz cuadrada de algo negativo es un número imaginario y por lo tanto mis raíces se van a ver de la forma compleja mis raíces son números complejos porque van a tener una parte real que es menos b / 2a y además van a tener una parte imaginaria que es precisamente la raíz de este número negativo pero además pasa algo importantísimo cuando yo tengo que mis dos soluciones son números complejos estas soluciones cumplen una característica bien importante son complejos conjugados es decir si yo tengo un número complejo que es solución de esta ecuación cuadrática entonces el conjugado de este número complejo también va a ser una solución de esta ecuación cuadrática pero bueno vamos a analizar en este ejemplo cómo se comporta me discriminante para que yo sepa cómo van a ser mis soluciones así que aquí tengo que a vale menos 3 b más de 5 y se vale 4 entonces ya tengo el valor de bs lo único que nos falta es sustituir estos valores en mi discriminante en la ecuación que tengo de mi discriminante para saber cómo van a ser mis soluciones y además para saber qué cantidad de soluciones tengo así que que me decía el discriminante de una ecuación cuadrática pues es de cuadrada menos 4 hacen es decir 5 al cuadrado menos 4 por aquí vale menos tres por c que valen menos 414 se vale menos 4 entonces me quedaba cuadrada es decir 5 al cuadrado menos 4 por a que vale menos 3 por sé que vale menos 4 y cuánto es esto pues 5 al cuadrados 25 y aquí me quedan menos por menos me da más tres por cuatro me da 12 y 12 por 4 me da 48 pero con signo negativo menos 48 25 menos 48 esto es lo que vale mi discriminante de esta ecuación cuadrática que por cierto cuánto vale 25 menos 48 bueno 25 menos 48 es lo mismo que menos 13 menos 13 no lo es menos 23 entonces déjenme corregirlo aquí -23 que por cierto es un número menor que cero y esto es lo más importante porque me está diciendo que mi discriminante es menor que cero y entonces estamos en el tercer caso entonces nos dice que tenemos dos soluciones y estas dos soluciones son raíces complejas