El discriminante de ecuaciones cuadráticas

creo que ya hemos tenido bastante exposición de lo que es la fórmula cuadrática pero en caso de que no lo han memorizado aún déjenme escribirla aquí abajo así que vamos a tener una ecuación cuadrática de la forma x cuadrada más bx más c igual a 0 muy bien la fórmula cuadrática que hemos demostrado en el último vídeo dice que las soluciones a esta ecuación son x igual a menos b más menos la raíz cuadrada de cuadrada menos 4 hace sobre todo esto sobre 2a ahora en este vídeo en vez de dar un montón de ejemplos de cómo sustituir la b y la c en esta fórmula quiero hablar un poquito más de esta parte de la de la fórmula cuadrática esta parte la be cuadrada menos 4 a c ok y hemos visto en varios problemas que hemos hecho de algunos ejemplos que este tipo de este este número determina cómo se ven las soluciones es decir si por ejemplo b menos 4 de cuadrada menos 4 ac es mayor que 0 ok vamos a suponer ese caso ahorita que vamos a tener pues vamos a tener dos soluciones verdad la raíz cuadrada de algún número positivo siempre es este que sea distinto de cero es el número por supuesto vamos a tener dos verdad dos soluciones entonces esto nos da implícitamente dos soluciones menos b entre 2 a más o menos esta raíz entre 2 así que el discriminante si es mayor que 0 nos dice que esta ecuación cuadrática ajá tiene dos soluciones dos soluciones ok y esa es la palabra para definir a este numerito de cuadrada menos cuatro hace es discriminante ok déjenme hacer lo mejor con otro color este número de aquí es el discriminante de la ecuación cuadrática de estar acá discriminante y solo para recordarlo esta es la parte que está dentro de la raíz del signo de la raíz y es por eso que es tan importante porque si es mayor que cero tienes dos raíces verdad dos soluciones a esta ecuación ahora qué pasa si b cuadrada menos 4 ac es igual a cero bueno si esto es igual a cero entonces tenemos que esta parte dentro de la raíz de cuadrada menos 4 c es igual a 0 ok entonces la raíz cuadrada de 0 solo es 0 y de hecho entonces tienes que la única raíz es menos b entre 2 a la verdad y otra forma de pensarlo es que sólo tienes una sola solución así que si el discriminante es igual a cero tú vas a tener una única solución una solución sólo tienes una solución y de hecho va a ser el vértice de la parábola verdad cuando gráfica mos la la la equis cuadrada más bx más c entonces las soluciones el vértice de esta parábola que le da como como un besito al eje x que es donde se encuentran las soluciones es donde se si la parábola se intersecta con el eje x es donde están las soluciones en este caso tenemos una vámonos al caso en que ve cuadrada menos 4 hace es menor que cero entonces aquí vamos a tener un número negativo dentro de una raíz y vimos un ejemplo de eso en el último vídeo verdad estábamos trabajando con números reales y no podemos tomar la raíz cuadrada de un número negativo así que no tenemos soluciones reales en el futuro veremos como eso sí puede tener soluciones complejas pero estamos trabajando con números reales y por lo tanto no hay solución ok la raíz cuadrada de un número negativo no existe no tiene sentido en los números reales y ahora podemos pensar más acerca de esto si tenemos que b cuadrada menos 4 hace digamos podemos pensar cuando las soluciones van a ser números racionales o no verdad por ejemplo si b cuadrada menos 4 a 6 2 pues no vamos a tener soluciones reales perdón racionales porque la raíz cuadrada de 2 no es un número racional verdad entonces vamos a tener una solución irracional entonces con todo esto dicho vamos a hacer algunos ejemplos para ver cómo esto cobra sentido y aterrizar ideas tomemos este polinomio el menos x cuadrada más 3 x menos 6 igual a 0 y sólo voy a estar concentrado en determinar qué tipo de soluciones tiene esto no quiero resolver la ecuación solo quiero saber cuántas soluciones tiene y lo podemos determinar a través del discriminante así que vamos a ver analizar cuál es el discriminante aquí b cuadrada es 9 menos 4 por qué es menos 1 por sé que es menos 6 muy bien entonces esto es igual a cuánto esto se puede convertir como en números positivos haciendo la operación de los signos entonces tengo 9 menos 6 por 4 24 verdad que es mucho menor que cero así que vamos a tener un número menor que cero dentro del radical por lo tanto no tenemos soluciones reales porque ese es este escenario que tenemos justo aquí así que la gráfica que de hecho se va para abajo porque tenemos un signo menos en el x cuadrada en el término cuadrática si ese es el eje x entonces la parábola se ve de esta forma no el vértice está debajo del eje x y la parábola abre hacia abajo entonces no tenemos soluciones reales vamos a hacer otro digamos que tengo déjenme hacer esto en rosa digamos que tengo la ecuación 5x cuadrada igual a 6x bueno vamos a poner esto en la forma que hemos usado siempre así que restamos 6x de ambos lados y me quedan 5 x cuadrada menos 6 x igual a 0 y vamos a calcular aquí el discriminante así que queremos obtener be cuadrada menos 4 hace verdad de cuadradas menos 6 al cuadrado menos 4 porsche y aquí no se ve la verdad pero podemos pensar que estamos sumando un 0 entonces c es igual a 0 no hay c en la ecuación por lo tanto podemos pensar que es 0 así que todo esto se hace 0 y tenemos que menos 6 al cuadrado es 36 así que el discriminante es positivo tendríamos un 136 bajo de la raíz y de hecho es un número cuadrado perfecto verdad eso me dice que va a tener dos soluciones racionales dos soluciones reales y que además de eso son racionales verdad porque el discriminante resultó ser 36 que es 6 al cuadrado es decir eso es un cuadrado perfecto verdad entonces vamos a tener soluciones reales pero además son racionales es este escenario de acá arriba y además y además le sumamos el escenario de que es un número racional verdad vamos a hacer un par más ya que estamos centrados en este tema entonces digamos que tengo el 41 x cuadrada menos 31 x menos 52 igual a cero otra vez quiero pensar en cuánto cuántas soluciones puede tener esta ecuación entonces de cuadrada va a ser 40 perdón menos 31 al cuadrado menos 4 que en este caso es 41 con otro a porsche que es menos 52 muy bien entonces que tengo aquí esto el primer de sumando en realidad es algo positivo y el segundo también porque si multiplicamos los signos me dan más verdad así que tengo algo positivo el primer término es 31 al cuadrado más está en esta multiplicación que no la voy a calcular pero es 4 por 41 por 52 y solo me importa el signo del discriminante en este caso es mayor que 0 eso significa que tengo dos soluciones reales y podríamos pensar si esto es por ejemplo racional o irracional pero requiere de muchos cálculos y no lo voy a hacer ahorita ok entonces sabemos que son reales no sabemos si son racionales o irracionales pero bueno al menos hay dos más bien exactamente hay dos digamos que tengo ahora x cuadrada x cuadrada menos 8 x + 16 igual a cero otra vez vamos a mirar quién es el discriminante de cuadrada es menos 8 al cuadrado menos 4 que es 1 porsche que es 16 ok esto es igual a 64 menos 4 por 16 que 64 y eso nos da 0 entonces sólo tengo una solución sólo tengo una solución y va a ser de hecho racional verdad va a ser racional de hecho esto es x 4 x x 4 ese es el mismo polinomio solo que factor izado y por lo tanto x va a ser igual a 4 cuando digo por definición de la fórmula cuadrática puedes mirar que aquí si esto es 0 entonces las soluciones menos b entre 2 haber dado y si esos 2 serán números enteros tenemos una solución racional espero que de esta forma rápida tengas claro cómo saber cuántas soluciones tengo en una ecuación cuadrática si son reales o si son o si no existen si pueden ser racionales el discriminante puede ser un atajo para resolver este tipo de problemas verdad y te permite apreciar la la belleza de esta fórmula