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Utilizar la fórmula cuadrática: número de soluciones

CCSS.Math:
HSA.REI.B.4
,
HSA.REI.B.4b

Transcripción del video

Determina el número de soluciones de la ecuación cuadrática, "x" cuadrada más "14x" más 49 igual a 0. Y hay un montón de formas en el que podríamos resolver esto, por ejemplo, podríamos factorizarlo y simplemente descubrir los valores de "x" que las satisfagan y después solo contarlos. Ese sería nuestro número de soluciones, otra forma, sería simplemente aplicar la fórmula cuadrática, pero lo que quiero hacer en este momento es explorar la fórmula cuadrática y pensar en cómo podemos determinar el número de soluciones sin siquiera tal vez necesariamente hallarlas de una forma explicita. Bueno, la fórmula cuadrática nos dice que si tenemos una ecuación de la forma "ax" cuadrada más "bx" más "c" igual a 0, entonces la soluciones van a ser de la forma... o las soluciones si existen, son de la forma "x" es igual a "-b" más menos y justo aquí es la razón del porqué puede haber dos soluciones, pues es que aquí tenemos un más/menos, si "b" cuadrada menos "4c" es un número positivo y mejor... espera, espera, espera... mejor deja terminar la fórmula, la raíz cuadrada de "b" cuadrada menos "4ac", todo esto entre "2a" y bueno, déjame pensar un poco más en esto. A ver, si "b" cuadrada menos "4ac" esto es mayor que 0, ¿entonces qué pasa? Bueno, si esto pasa adentro de la raíz, tenemos un número positivo, por lo cual podemos sacarle raíz cuadrada y después cuando lo sumemos con "-b", vamos a obtener un valor para el numerador, cuando tú lo restes a "-b", vamos a obtener otro valor distinto en el numerador. Así que cuando pasa esto, vamos a obtener dos soluciones... dos soluciones... cuando "b" cuadrada menos "4ac" es mayor que 0, vamos a obtener dos soluciones. Ahora, ¿qué pasa cuando "b" cuadrada menos "4c" es igual a 0? bueno, si la expresión dentro de la raíz es igual a 0 entonces tendremos que sacar la raíz cuadrada de 0, la cual es 0, la raíz cuadrada de 0 es 0, por lo tanto, nos quedaría "-b" más o menos 0 y no importa lo que le sumes o le restes 0, siempre vas a obtener el mismo valor, así que en esta situación la solución de la ecuación va a ser "-b" entre "2a", esta vez no vamos a tener más o menos pues no va a ser relevante, por lo tanto, vamos a tener una única solución, "-b" entre "2a", es decir, que si tenemos "b" cuadrada menos "4c" igual a 0, entonces vamos a tener solo una solución. Y bueno, ¿después qué va a pasar si "b" cuadrada menos "4ac" es menor que 0? bueno pues si "b" cuadrada menos "4c" es menor que 0, entonces es un número negativo, el cual vamos a tener adentro de la raíz cuadrada y entonces tenemos que tomar la raíz cuadrada de un número negativo. Y nosotros sabemos porque nosotros trabajamos con los números reales que no podemos tomar esta raíz cuadrada, pues no es un número real. Así que en esta situación, no existen soluciones o mejor dicho no existen soluciones reales y bueno, cuando digo reales me refiero literalmente a números reales, no a soluciones reales, aquí lo voy a poner, no hay solución real... no hay soluciones reales... Así que una vez dicho esto, pensemos en el contexto de esta ecuación que tenemos aquí, que por cierto, en el dado caso que tú seas muy curioso y te preguntas si esta expresión "b" cuadrada menos "4ac" tiene un nombre especial, pues si lo tiene, se llama discriminante, el discriminante... discriminante... el cual es esta parte de la fórmula cuadrática, el que determina el número de soluciones que vamos a tener. Así que si queremos determinar el número de soluciones que vamos a tener en esta ecuación aquí, entonces no necesariamente tenemos que resolver toda la fórmula cuadrática, aunque tal vez no sea mucho trabajo pero podemos determinar el número de soluciones evaluando la expresión "b" cuadrada menos "4ac" y bueno ahora si, llegó la hora de pensar en este caso particular, vamos a buscar quien es "b", quien es "a" y quien es "c", éste de aquí, éste es "b", el que está al lado de la "x", este otro que está al lado de la "x" cuadrada es "a" mientras que éste, mi término libre es "c". Y ahora si nosotros sustituimos buscando "b" cuadrada menos "4ac" entonces me va a quedar, 14 elevado al cuadrado, -4 por "a" pero "a" vale 1 por "c", pero "c" vale 49, entonces por 49, ¿y cuánto es esto? Pues vamos a hacerlo, ¿cuánto es 14 por 14? Lo voy a hacer por aquí, 14 por 14 y me queda 4 por 4 = 16 y llevamos 1, 4 por 1 = 4 y una 5 y después ponemos un 0 aquí y 14 por 1 es 14, ahora si sumamos me queda, 691... 196, 14 por 14 es 196. Y bueno, por otra parte tengo 4 por 49, así que vamos a hacerlo también por aquí, 4 por 49, 9 por 4 es 36 y llevamos 3, 4 por 4 = 16 y 3 = 19, 196 también y cuando yo me tomo 196 menos 196, esto me da 0, entonces estamos en el caso en el que el discriminante es igual a 0. O dicho de otra manera, estamos en este caso de aquí, en el caso en el que "b" cuadrada menos "4ac" es igual a 0 y por lo tanto estoy diciendo que solamente tengo una solución e inclusive si quieres podemos encontrar la única solución, esta parte de aquí va a ser la raíz cuadrada de 0 y por lo tanto esto desaparece, así que las soluciones de esta ecuación van a ser "-b" entre "2a" y "-b" podemos sustituirlo es -14 entre "2a", es decir, 2 por 1 lo cual es 2. Y esto es igual a -7, esta es la única solución de esta ecuación. Pero si solo quisieras saber cuantas soluciones tiene, solo tendrías que ver que el discriminante 0 y por lo tanto, solo vas a tener una solución. Y bueno, también hay otras maneras podrías factorizar lo cual también es sencillo, pues esto que está aquí, es lo mismo que "x" más 7 por "x" más 7 y con esto obtendrías el mismo resultado.