Valor inicial y razón común de funciones exponenciales

pensemos esta vez en una función y vamos a ponerle un nombre voy a suponer que se llama h hdn y esta función va a ser igual y no sé se me ocurre a un cuarto que multiplica a 2 elevado a la potencia n entonces primero que nada lo que puedes observar es que en esta ocasión tenemos a la variable de entrada de nuestra función en el exponente y esto está bastante interesante porque este tipo de funciones se les conoce con el nombre de función exponencial es más déjame ponerle nombre esta de aquí es una función exponencial es una función exponencial y esto se debe a que la variable de entrada de nuestra función está definida en el exponente y con ella viviendo aquí en el exponente obtenemos nuestra variable de salida y puedo escribir no sé no se me ocurre otra función exponencial así que se me ocurre ahora tomarme la siguiente función exponencial y en esta ocasión mi variable de entrada va a ser t entonces efe dt efe dt va a ser igual y no sé se me ocurre pensar en 5 por 3 elevado a la potencia t y una vez más esta también es una función exponencial y ahora hay un par de cosas interesantes en que pensar acerca de una función exponencial de hecho vamos a explicar todas ellas pero primero lo que quiero es que nos acostumbremos un poco a la terminología entonces la primera cosa de la que quiero hablar la noción o la idea del valor inicial así que déjame escribirlo por aquí voy a hablar del valor inicial y bueno el valor inicial esencialmente es el valor de la función cuando la entrada es cero entonces para estos casos el valor inicial de la función h es cuando n va a valer cero entonces h de cero va a ser igual y si sustituimos este valor aquí arriba me va a quedar un cuarto un cuarto que multiplica a dos elevado a la potencia cero y cuánto es esto bueno pues dos el a cero simplemente esto es 1 así que simplemente me va a quedar un cuarto por uno lo cual es un cuarto entonces el valor inicial al menos en este caso parece ser este número que tenemos aquí es decir el número que se pone aquí tenemos el valor inicial que multiplica a un cierto número elevado a este exponente que es nuestra variable de entrada y después veremos el nombre de este número pero vamos a ver si eso es cierto también para efe dt vamos a ver cuánto es efe de 0 y bueno efe de 0 va a ser lo mismo que si sustituimos 5 por 3 elevado a la cero pero una vez más 13 elevado a 0 esto es simplemente 1 y me va a quedar 5 por 1 lo cual es 5 y aquí está es de nuevo este valor inicial que tengo aquí entonces si tienes funciones exponenciales de esta forma tiene sentido su valor inicial va a ser bueno si pones 0 en estos exponentes esto siempre va a ser 1 y entonces este número que está multiplicando va a ser tu valor inicial solo te quedarás con esta cosa que está multiplicando y espero que esto tenga un poco de sentido para ti o que al menos me puedas entender un poquito pero en fin vamos a ver mejor cómo se llama este número que tenemos aquí este número que tenemos aquí y bueno tiene un nombre su nombre es razón común déjame ponerlo aquí razón común y en mi cerebro me pregunto bueno por qué se llama una razón común y pues la respuesta es la siguiente si piensas que nuestras entradas son números enteros especialmente en entradas de números enteros secuenciales dicho de otra manera una sucesión verás un patrón por ejemplo si quiero tomarme 70 bueno ya sabemos cuántos h de cero no h de 0 es lo mismo que un cuarto bien y qué pasa si quiero tomarme hd 1 bueno pues hd 1 va a ser lo mismo que un cuarto por 2 elevado a la primera potencia pero eso es lo mismo que un cuarto que multiplica a 2 estás de acuerdo y bueno observa que esto es lo mismo que 2 por h por h de 0 ok y si quiero hablar del hd2 bueno pues esto es lo mismo que un cuarto que multiplica a quien bueno va a multiplicar a 2 elevado al cuadrado que es lo mismo que 2 2 o de otra manera observa que esto es lo mismo que m2 por hd 1 esto es lo mismo que dos por h de 1 y es que de esta manera puedes observar que si sacamos la razón entre hd2 y hd 1 bueno pues esa razón va a ser 2 y si tomamos la razón entre hd 1 y hd 0 esa razón también será este valor de 2 por eso esta es la razón común entre las entradas enteras sucesivas de nuestra función e inclusive lo podemos ver de la siguiente manera si pensamos no sé en cuánto es h de n más esto dividido entre h de nm bueno inclusive esto mismo lo podemos sustituir aquí me va a quedar un cuarto un cuarto que multiplica a 2 elevado a la n 1 elevado a la n más 1 y esto a su vez dividido entre un cuarto un cuarto que multiplica a 2 elevado a la potencia en la potencia n bueno estos dos se cancelan y simplemente voy a quedarme con dos a la n 1 entre 2 a la n lo cual sabemos que es 2 y es por eso que esta es mi razón común bueno esto para la función hdn para la función f de nuestra razón común sería 3 muy bien y qué pasaría si lo hubiéramos de la manera contrario imagínate que alguien nos dice vamos a hablar de una función la cual es una función exponencial y le voy a poner el nombre y bueno esta función exponencial gm tiene como valor inicial como valor inicial no sé se me ocurre que sea -cinco inicial- su valor inicial es igual a 5 y también voy a decir que esta función g tiene como razón común como razón común el valor de 6 entonces déjame anotar lo tengo como razón común el valor de 6 y bueno me dicen que es una función exponencial entonces como se va a ver esta función exponencial bueno se va a ver de la siguiente manera se va a ver no sé supongamos que nuestra variable de entrada es x así que en esta ocasión voy a tener que gtx va a ser igual a el valor inicial que es 5 que multiplica a la razón común elevada a la potencia x así que una vez más observa que aquí tenemos el valor inicial que es este de aquí y que también estamos hablando de una son común esta de aquí la cual la estamos colocando justo aquí y ya está espero que todo esto te haya hecho familiarizarte con la idea de una función exponencial y con algunas partes de esta y también espero que entiendas un poco porque estas funciones se llaman cómo se llaman