Introducción a las funciones inversas

Funciones inversas, en el sentido más general, son funciones que "revierten" una a la otra.

Por ejemplo, aquí vemos que la función $f$f convierte $1$1 en $x$x, $2$2 en $z$z, y $3$3 en $y$y.

La inversa de $f$f, que se denota como $f^{-1}$f, start superscript, minus, 1, end superscript (y se lee como "$f$f inversa"), revierte este mapeo. La función $f^{-1}$f, start superscript, minus, 1, end superscript convierte $x$x en $1$1, $y$y en $3$3, y $z$z en $2$2.

En general, si una función $f$f convierte $a$a en $b$b, entonces la función inversa, $f^{-1}$f, start superscript, minus, 1, end superscript, convierte $b$b en $a$a.

Con esto tenemos la definición formal de funciones inversas:

Profundicemos más en esta definición mediante algunos ejemplos.

Supongamos que la función $h$h está definida con el diagrama de mapeo que está arriba. ¿Qué es $h^{-1}(9)$h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis?

Tenemos esta información acerca de la función $h$h, y nos preguntan acerca de la función $h^{-1}$h, start superscript, minus, 1, end superscript. Puesto que las funciones inversas revierten la una a la otra, necesitamos revertir nuestro razonamiento.

Específicamente, para encontrar $h^{-1}(9)$h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis, podemos encontrar el valor de entrada de $h$h para el cual el valor de salida es $9$9. Esto es así porque si $h^{-1}(9)=x$h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis, equals, x, entonces por la definición de inversas, $h(x)=9$h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 9.

A partir del diagrama de mapeo, vemos que $h(6)=9$h, left parenthesis, 6, right parenthesis, equals, 9, así que $h^{-1}(9)=6$h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis, equals, 6.

Esta es la gráfica de la función $g$g. Encontremos $g^{-1}(-7)$g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis.

Para encontrar $g^{-1}(-7)$g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis, podemos encontrar el valor de entrada de $g$g que corresponde a un valor de salida de $-7$minus, 7. Esto es así porque si $g^{-1}(-7)=x$g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis, equals, x, entonces por la definición de inversas, $g(x)=-7$g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 7.

De la gráfica, vemos que $g(-3)=-7$g, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, minus, 7.

Por lo tanto, $g^{-1}(-7)=-3$g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis, equals, minus, 3.

Los ejemplos anteriores nos han mostrado la conexión algebraica entre una función y su inversa; pero ¡hay también una conexión gráfica!

Considera la función $f$f, dada con la siguiente gráfica y tabla de valores.

Podemos revertir las entradas y salidas de $f$f para encontrar las entradas y salidas de $f^{-1}$f, start superscript, minus, 1, end superscript. Si $(a,b)$left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis está en la gráfica de $y=f(x)$y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, entonces $(b,a)$left parenthesis, b, comma, a, right parenthesis estará en la gráfica de $y=f^{-1}(x)$y, equals, f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis.

Con esto tenemos la gráfica y la tabla de valores de $f^{-1}$f, start superscript, minus, 1, end superscript.

Viendo ambas gráficas juntas, observamos que la gráfica de $y=f(x)$y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis y la gráfica de $y=f^{-1}(x)$y, equals, f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis son reflexiones a lo largo de la recta $y=x$y, equals, x.

Esto es cierto en general: la gráfica de una función y de su inversa son reflexiones a lo largo de la recta $y=x$y, equals, x.

Parece ser arbitrario estar interesados en funciones inversas, pero de hecho ¡las usamos todo el tiempo!

Considera que la ecuación $C=\dfrac59(F-32)$C, equals, start fraction, 5, divided by, 9, end fraction, left parenthesis, F, minus, 32, right parenthesis sirve para convertir la temperatura en grados Fahrenheit, $F$F, a la temperatura en grados Celsius, $C$C.

Pero supongamos que quisiéramos una ecuación que haga lo contrario: que convierta de temperatura en grados Celsius a temperatura en grados Fahrenheit. Eso es lo que describe a la función $F=\dfrac95C+32$F, equals, start fraction, 9, divided by, 5, end fraction, C, plus, 32, o sea la función inversa.

A un nivel más básico, en matemáticas resolvemos muchas ecuaciones al "aislar la variable". Cuando aislamos la variable, "deshacemos" lo que está a su alrededor. De esta manera, estamos utilizando la idea de funciones inversas para resolver ecuaciones.