Introducción a las funciones invertibles

Sí. Como cada valor de entrada tiene un único valor de salida, la función es invertible.

Los siguientes diagramas de mapeo comprueban que esto es cierto.

Como la inversa, $f^{-1}$‍, es una función, ¡la función $f$‍ es invertible!

De la tabla vemos que $g(2)=-2$‍ y $g(8)=-2$‍. Esto muestra que $-2$‍ no es un valor de salida único, así que la función $g$‍ no es invertible.

También podemos auxiliarnos con los diagramas de mapeo para determinar si $g$‍ es invertible.

Observa que $g^{-1}$‍ no es una función, así que $g$‍ no es invertible.

Podemos crear una tabla parcial de valores para la función $f(x)=x^2$‍.

De la tabla vemos que $f(-2)=4$‍ y $f(2)=4$‍. Esto muestra que no todo valor de entrada tiene un valor de salida único, así que la función $f$‍ no es invertible.

(Nota: para otros valores de salida ¡puedes utilizar un argumento similar!)

Recuerda que una función y su inversa son reflexiones a lo largo de la línea recta $y=x$‍.

Observa qué pasa cuando $y=x^2$‍ se refleja a lo largo de la línea recta $y=x$‍.

Obtenemos una relación que no es una función, pues la inversa ¡no pasa la prueba de la línea vertical!

En general, si una línea horizontal intersecta la gráfica de una función en más de un punto, una línea vertical intersecará la gráfica de su reflexión a lo largo de $y=x$‍ en más de un punto. Lo que significa que la inversa no será una función.

En contraste, la reflexión de $y=x^3$‍ sí pasa la prueba de la línea vertical y por lo tanto $y=x^3$‍ es invertible.

Para determinar si una función es invertible, necesitamos decidir si cada valor de entrada tiene un valor de sálida único. Para hacer esto podemos imaginar una línea horizontal que atraviesa la gráfica de la función.

Específicamente, imaginemos una línea horizontal en $y=2$‍.

Observa que la línea en $y=2$‍ interseca la gráfica de $y=g(x)$‍ en tres lugares. Esto significa que hay tres valores de entrada que tienen un valor de salida igual a $2$‍. Así que cada valor de entrada no tiene un valor de salida único, y la función no es invertible.

O bien podemos decir que la función $y=g(x)$‍ no pasa la prueba de la línea horizontal, así que no es invertible.

Para determinar si una función es invertible, necesitamos decidir si cada valor de entrada tiene un valor de sálida único. Para hacer esto podemos imaginar una línea horizontal que atraviesa la gráfica de la función.

Si tomamos una línea horizongtal y la deslizamos hacia arriba y hacia abajo de la gráfica, ¡siempre interseca a la función en un solo punto! Esto significa que cada valor de entrada tiene un valor de salida único, así que la función es invertible.

O bien podemos decir que la función pasa la prueba de la línea horizontal, así que es invertible