Introducción a las funciones inversas

lo que quiero hacer en este vídeo es reflexionar un poco más acerca de qué es lo que hacen las funciones y después platicar acerca de las funciones inversas déjame iniciar con una función sencilla voy a tomar la función y es igual a efe de x que es igual a 2 x + 4 2 x + 4 a esta función yo le puedo meter ciertos valores para x por ejemplo si le pongo f 2 efe de 2 entonces debemos sustituir 2 de este lado y me quedaría que es igual a 2 x 2 + 4 2 por dos es cuatro y si sumamos 4 nos da 8 de manera similar si le pongo 3 me quedaría que f de 3 es igual a 2 x y ahora hay que cambiarla x por 3 serían 2 x 3 + 4 2 por 13 64 es igual a 10 entonces aquí tenemos dos valores de la función f de 12 es igual a 8 y f de 3 es igual a 10 pero esto lo podemos ver de una forma un poco más abstracta como sigue como que hay algunos valores como 2 y 3 que pueden entrar en la función y que de ahí nos dan algunos otros valores voy a hacer un dibujo de este lado a la izquierda voy a poner los valores que pueden entrar ene efe los valores o los números en los cuales podemos evaluar efe a ese conjunto de valores se le conoce como el dominio dominio de la función entonces en este dominio está por ejemplo el 2 voy a poner por aquí el 2 o bien el 3 por aquí está el 3 y en realidad está cualquier número real verdad aquí podemos poner cualquier número real y no hay ningún problema entonces el dominio serían todos los números reales solo que lo estoy dibujando aquí así de una manera acotada para que sea más fácil visualizarlo muy bien entonces tenemos estos valores que pueden entrar en la función y a cambio la función nos regresa otros valores como el 8 y el 10 esos otros valores los voy a pintar a la derecha entonces aquí tenemos otro conjunto de valores que se llama el rango de la función del rango de la función que son aquellos valores que podemos alcanzar aplicando la función f a elementos de su dominio por ejemplo aquí tenemos el 8 voy a poner por aquí el 8 por aquí tenemos el 10 y tenemos otros cuantos más y podemos dibujar algunas flechas para indicar cómo cómo se aplica la función f o como f relaciona elementos del dominio con elementos del rango por ejemplo como f 2 es igual a 8 podemos dibujar una flecha de aquí para acá más o menos así y decir que 8 es igual a efe de dos dedos otra forma de escribirlo es que f efe manda el 2 al 8 al 8 y de manera similar podemos trazar una línea por acá que me queda un poco chueca la voy a trazar un poco mas derechita una línea por acá que indica que el 3 se va al 10 es decir 10 es igual es igual a efe de 3 o también lo podemos poner como que f manda del 3 al 10 al 10 muy bien ahora la pregunta aquí sería la siguiente será posible regresar de los valores del rango a los valores del dominio es decir existirá alguna función que nos mande el 8 al 2 déjame llamarle a ese a esa función efe a la menos 1 lo voy a poner aquí pero ahorita lo lo pongo sobre el dibujo a esa función si es que existe la vamos a llamar efe a la menos uno entonces me estoy preguntando si puedo empezar en el 8 y regresarme al 2 china lo mejor debería irme por aquí a bajit o algo así entonces quiero saber si puedo empezar en el 8 y de ahí irme al 2 si hay una función efe a la menos 1 que lo que haga es mandar el 8 al 2 pero no sólo eso sino que también más del 10 al 3 entonces voy a hacerle así que mande el 10 al 3 entonces vamos a pensar que esta función efe a la menos uno manda el 10 al 3 la pregunta es existirá esta función bueno en este caso si hasta ahorita todo ha sido muy abstracto pero ahorita que haga un ejemplo vas a ver que todo es más claro entonces la respuesta es que si existe esta función y vamos a encontrar esa función despejando equis y poniéndolo en términos de ella déjame hacer eso voy a poner una vez más aquí que ya que es igual a 2 x 2 2 x + 4 y lo que vamos a hacer es despejar a x entonces voy a restar 4 de ambos lados me queda que y menos 4 es igual a 2x y ahora voy a dividir entre 2 me queda que medios menos 2 es igual es igual a x voy a reescribir esto un poco voy a voltear esto para que se vea un poco mejor entonces me queda que x es igual a un medio de y menos -2 ok entonces se observa que estoy haciendo lo que estoy haciendo es poner a x ahora en términos de y entonces ahora esto lo que nos hace o lo que nos da es una función en términos de i y eso es exactamente lo que queremos nosotros lo que queremos hacer es una función que tome valores en el rango valores de g y que nos lo regrese a valores en el dominio valores en x y justo está justo está sucediendo esto aquí verdad si tenemos un valor un valor x bueno pues a esta expresión la podemos pensar ahora como una función como una cosa de este estilo déjame tomar otro color del estilo efe al menos uno efe al menos uno de que es igual a un medio medio de menos dos un medio de menos dos vale bueno entonces lo que estamos haciendo es lo que hicimos para encontrar este esta efe al menos uno de iu es poner igual a 2 x 4 despejar la x en términos de i y simplemente llamar efe al menos 1 deje a esta expresión de acá va sin embargo pues esta es una expresión de una función y aquí tenemos una variable que podemos cambiar por cualquier cosa la podemos cambiar por a por x por r o por lo que sea entonces déjame cambiarla por equis para que se vea un poco más como una función nos quedaría que f halal -1 de x es igual a un medio de x menos 2 - 2 y listo esta de aquí sería la función inversa es la función que nos permite pasar del rango hacia el dominio si de 2 nos fuimos a 8 nos permite regresar de 8 a 2 y de 3 nos fuimos a 10 nos permite regresar de 10 a 3 vale para hacerla simplemente tomamos la expresión ye igual a 2 x + 4 despejamos x despejamos x y luego simplemente intercambiamos el papel de la ye y la x yo creo que se puede decir así bueno ahora una pregunta interesante es qué sucede si gráfica moss al mismo tiempo una función efe y su inversa déjame hacer un pequeño dibujo para ver qué sucedería en este caso en los próximos vídeos vamos a ver muchos más ejemplos pero ahorita nada más nada más va a ser un ejemplo rápido sale entonces aquí tenemos el eje x por acá tenemos el eje el eje y lo que voy a hacer es graficar fx efe al menos 1 de x estás acá las dos son rectas entonces podemos graficar las fácilmente si tenemos fx observemos que la intersección en el eje y es igual a 4 entonces sería 1234 cortaría por acá y la pendiente es 2 entonces se vería más o menos así déjame ver más o menos cómo así sale entonces esa de ahí sería la gráfica de ye igual a fx y por otro lado cómo se vería la gráfica de dfa la menos 1 de x df inversa de x bueno pues ahora su intersección en el eje y es igual a menos 2 la voy a poner en color rosa menos 1 - 2 muy bien ok y tenemos que su pendiente es un medio entonces ahora estaría un poco más acostada verdad se vería más o menos algo así algo como de este estilo así ok y la pregunta es bueno déjame ponerle antes de preguntar le voy a poner que es igual a efe al menos 1 de equis y ahora si la pregunta es cómo están relacionadas estas dos rectas bueno pues parece ser que una es la reflejada de la otra verdad o sea parecería que una está reflejada con respecto a la otra pero con respecto a que o con respecto a qué recta bueno pues para que las cosas sean mucho más claras déjame dibujar la gráfica de la función y igual a x igual a x me voy a poner punteada entonces es es una cosa que viene por aquí abajo tiene pendiente uno pasa por el 0 0 y sigue creciendo así con pendiente 1 entonces esta es la gráfica de ye igual a x bueno pues precisamente la gráfica de la función inversa df a la menos 1 de x es el reflejado de la gráfica de la función con respecto a la línea igual a equis y eso se puede pensar de la siguiente manera lo que está lo que hicimos para obtener efe al menos uno de x es despejar x en términos de ley y luego intercambiar los papeles de xy de i y justo justo reflejar con respecto a la recta igual a x es cambiar los papeles de xy de y por ejemplo si teníamos x igual a cero nos queda que es igual a 4 es más lo podemos marcar aquí si tenemos aquí en el dominio el 0 eso a través de la función nos lleva nos lleva a 44 esto de aquí es igual a efe de 0 pero si empezamos con 4 y aplicamos la inversa eso nos regresa déjame tomar esta herramienta para hacer líneas un poco más derechistas esto nos regresa a 0 a 0 vale entonces esto esto manda a 4 a 0 la inversa manda 4 a 0 entonces justo estamos intercambiando los papeles de xy deje de intercambiar papeles de xy de es reflejar con respecto a esta recta esto nos cambia el eje x en el eje y entonces nos cambia el mundo de las x al mundo de las 10 muy bien entonces esto es un poco de la intuición que está que está dentro de las funciones y de las funciones inversas aquí simplemente hicimos un pequeño ejemplo pero en los siguientes vídeos vamos a ver varios ejercicios para que después tú puedas resolver los problemas de funciones inversas por tu cuenta