La relación entre exponentes y logaritmos: gráficas

los tres puntos trazados abajo están en la gráfica que es igual a b elevado a la equis estos tres puntos de aquí basándose únicamente en estos tres puntos traza los tres correspondientes que deben estar en la gráfica de james es igual a logaritmo en base fede x haz clic en la gráfica para trazar estos puntos y bueno primero déjame pegar esta pantalla aquí en donde podamos trabajarla en este pizarrón y ahora fíjate en lo siguiente los tres puntos trazados de abajo están en la gráfica y es igual a b a la x qué información nos dice eso bueno para esto déjame hacer una pequeña tabla por aquí hablando de esta primera función la primera función es la función a déjame tener esta tele aquí aquí tengo a x mientras que por acá tengo a james alguien que por cierto lo obtenemos con b elevado a la equis de lujo ahora que nos dicen estos tres puntos si te das cuenta el primer punto nos dice que cuando x vale 0 y vale 1 cuando x vale 0 ok ya toma el valor de 1 es justo la información que me está dando este punto de aquí ahora el segundo punto lo que me dice es que cuando x vale 1 y vale 4 cuando x vale 1 y vale 4 y de hecho de que ya podríamos obtener el valor de bem si x vale o no vale 4 y bueno podríamos hacer algún ajuste para saber el valor de ben y es la información que me está dando este punto de aquí ahora por último tengo este otro punto de por acá que me dice que cuando x vale 2 que toma el valor de 16 cuando x vale 2 que toma el valor de 16 y bueno estos tres puntos son puntos que están en gráfica y es igual a b a la equis ahora lo que queremos hacer es graficar los tres correspondientes puntos pero de eso otra función así que qué te parece si hacemos otra tabla por aquí déjame tomar en este color y voy a hacer otra nueva tabla por aquí tengo esta tabla de por acá ok y en esta tabla me voy a tomar esta función que esencialmente si te das cuenta es la función inversa en este caso aquí tendría a equis déjame poner con este color aquí tendría x mientras que aquí tendría la función que es igual a logaritmo en base b ok de x es decir la función inversa bueno y cuáles son las posibilidades aquí ahora qué te parece si tomamos justo estos valores porque recuerda que la función logaritmo es la función inversa de la exponencial y la función exponencial es la función inversa del logaritmo y por lo tanto si yo me tomo ahora estos valores que tengo aquí a la izquierda que voy a obtener vamos a ponerlos aquí si yo tengo que ahora x va a valer 1 ok después va a tomar el valor de 4 lo voy a poner justo aquí y después va a tomar el valor de 16 después va a tomar el valor de 16 que voy a obtener con esta función bueno si te das cuenta en primer lugar tengo el logaritmo el logaritmo en base b y en este caso de x que es 1 y bueno si ves una potencia distinta de 0 y bueno eso lo podemos notar una manera muy sencilla en cómo se comporta esta función aquí el logaritmo en base b de uno siempre cero para cualquier base distinta de cero b elevado a la potencia cero nos da este resultado siempre 1 por lo tanto en este caso me queda el punto 10 el punto 10 y tiene todo el sentido lógico del mundo que lleguemos justo a este punto de aquí si te das cuenta lo que hicimos fue invertir la equis por la yema y la ye por la equis aquí estamos en el punto 0 1 y aquí estamos ahora en el punto 10 y bueno es que realmente cuando te tomas la función inversa lo que estás haciendo es a través de la función a identidad a través de la recta y es igual a x así que si nos fijamos en esta recta lo que estoy haciendo es reflejando lo a partir de esta recta de aquí tenemos una reflexión ahora si nos fijamos en el siguiente que vamos a obtener tendría en este caso el logaritmo el logaritmo en base b de 4 es decir a qué potencia tengo que llevarme para obtener 4 pero eso nosotros ya lo sabemos es justo lo que dice aquí hay que elevar a la primera potencia para obtener el valor de 4 cuando x vale 1 b elevado a la 1 es 4 a qué potencia tengo que elevar a b para obtener 4 bueno pues eso lo sabemos es la potencia número 1 y por lo tanto tendría el punto 4 1 4 1 es este punto de aquí y si te das cuenta tiene toda la lógica del mundo es una reflexión sobre la recta x de lujo ahora fijémonos en el último punto cuánto va a valer el logaritmo mba se ve de 16 es decir a qué potencia tengo que elevar a b para obtener 16 y eso nosotros lo sabemos es a la segunda potencia porque ve cuadrada de cuadrada es lo mismo que 16 cuando equivale a 210 vale 16 a qué potencia tengo que elevar para obtener 16 bueno pues esto es a la segunda potencia y estaríamos en el punto 16 2 justo este de aquí y qué creés también estamos fijándonos en una reflexión alrededor de esta recta la recta y es igual a equis o dicho de otra manera lo que estamos haciendo es intercambiando los valores de x por james y por equis y bueno ya justo aquí tengo los tres correspondientes puntos que era lo que me pedían así que es un buen momento para sacar la página internet el navegador y vamos a poner nuestra respuesta y 10 que al final nos dando la idea de tener dos funciones que son funciones inversas y es por eso que entonces el punto cuando x vale cero y llévale uno vamos a tomar nuestro punto correspondiente cuando x vale 1 y vale 0 que sería este punto de aquí y después el punto en donde x vale 1 y ya vale 4 entonces su correspondiente punto es cuando x vale 4 y ya vale 1 es justo este de aquí y bueno aquí tenemos el punto en donde x vale 2 y lleva al de 16 y su correspondiente punto sería cuando x vale 16 y ya vale 2 y justo tenemos estos tres puntos de aquí y bueno si te das cuenta esto se ve claramente porque son funciones inversas así que es momento de comprobar la respuesta y perfecto estamos bien