Introducción al arco coseno

hola en este vídeo quiero continuar viendo las funciones trigonométricas inversas en particular en este vídeo me voy a ocupar de el arco coseno que se abrevia al cos arco coseno y lo que me dice el arco coseno es si considero el arco coseno de un valor x esto me debe dar un ángulo theta es lo mismo decir arco coseno que decir coseno a la menos 1 la función coseno inversa de x es igual a theta cualquiera de estas dos cosas son básicamente lo mismo y de hecho mi mente siempre que ve una cosa de este estilo le gusta invertirlo para decir que pues tienes el consejo inverso de x pues es el ángulo theta tal que si le aplicó la función coseno a teta recupero mi valor así que eso es lo que tenemos que pensar cuando veamos cualquiera de estas funciones pero bueno vamos a hacer un ejemplo en concreto que creo que ayudará bastante supongamos que quiero calcular el arco coseno de menos un medio entonces esto tiene que ser igual a un ángulo theta y lo que tiene que pasar es que si considero el coseno etc el coche no detecta cuánto me tiene que dar pues me tiene que dar menos un medio esa es la definición del arco coseno así que bien voy a dibujar ahora mi círculo unitario ahí está mi egg algo chueco ahí está mi eje x y voy a poner mi círculo unitario por aquí algo así bien entonces qué es lo que estoy buscando pues estoy buscando aquí tengo algún medio estoy buscando un ángulo tal que su intersección con el círculo unitario su intersección con el círculo unitario tenga coordenada x menos un medio perdón estoy buscando que tenga coordenada x menos un medio así que voy a copiar este triángulo de aquí este triángulo voy a copiar por acá se vería algo así bien entonces este lado vale un medio tiene un medio de longitud este lado la hipotenusa de hecho este es el ángulo recto este aquí es un ángulo recto la hipotenusa mide uno porque es un radio del círculo unitario y de modo que puedo despejar con el teorema de pitágoras para obtener a como lo tengo yo sé que al cuadrado más un medio al cuadrado más un medio al cuadrado que son la suma de los cuadrados de los catetos es igual a la hipotenusa al cuadrado uno al cuadrado de donde obtengo que al cuadrado es igual a uno menos un cuarto que es lo mismo que tres cuartos de modo que si saco raíz obtengo que vale raíz de tres cuartos que es raíz de 3 entre dos así que vale escribo este lado aquí vale raíz de 3 entre 2 y quizás ya reconozcan este triángulo este es un triángulo 30 60 90 y por qué es eso pues si se fijan la hipotenusa que vale 1 es precisamente el doble que uno de los catetos este cateto vale un medio que es la mitad de uno y el otro cateto el cateto en este caso a mide precisamente raíz de tres por la longitud de este cateto así que este es un triángulo 30 60 90 y yo sé de estos ángulos que este ángulo de aquí en el que es opuesto a el lado que mide raíz de 3 entre 2 es precisamente el ángulo de 60 grados así que este ángulo de aquí este ángulo de aquí mide 60 grados pero el ángulo que yo estoy buscando no es ese el ángulo que yo estoy buscando es este ángulo de acá ahora bien qué sucede pues este ángulo rojo más este ángulo amarillo es simplemente el ángulo ya no de 180 grados de donde este ángulo rojo debe valer 180 menos los 60 grados de este ángulo de aquí así que este ángulo rojo vale 120 grados así que vamos a escribirlo el arco coseno de menos un medio que es el ángulo theta es simplemente 120 grados o si lo quiere escribir en radiales lo que podría hacer es decir 120 grados x radian es por cada 180 grados y esto cuánto me da pues los grados cancelan a los grados por así decirlo y 120 entre 180 es igual a dos tercios de modo que esto sería dos tercios en radiales es más si quieren escribo completos radiales así que esto es lo mismo que dos tercios irradian es muy bien y no tengo que decir eso es exactamente lo mismo que decir que el coche no de dos tercios de radiales los pi tercios radiales es igual a menos un medio lo cual de hecho así es cierto pero bueno quizás ustedes se están fijando en este círculo unitario y están pensando bueno pero qué pasa si continúo sobre el círculo unitarios y ya llegué aquí a este punto y me sigo hasta que llegó a este punto de aquí abajo este también tendría coordenada x igual a menos un medio así que porque el valor no es todo este ángulo digamos todo este ángulo de aquí porque no es todo eso el valor del arco coseno de menos un medio pues la razón es que me tengo que restringir esto es de hecho una convención no no tengo opción en esto me tengo que restringir a valores de ángulos que se queden dentro de los dos primeros cuadrantes solo voy a considerar este segmento del círculo unitario este arco precisamente de aquí de cero hasta y esos son los ángulos que voy a aceptar para mis valores del arco coseno es decir cuando tengo que el arco coseno de x es igual a un ángulo theta entonces tengo que pedir que el sitet a está escrito en radiales pero sea menor o igual la teta y theta sea menor o igual a pi o si lo quiero escribir en grados 0 radiales es igual a cero grados pero pi radiales es igual a 180 grados de modo que tengo que pedir esto y qué valores son aceptables para x qué valores le puedo insertar a mi función de arco coseno pues si quiero que el arco coseno de que sea igual a theta entonces el coche no detecta tiene que ser igual a equis pero el coche no solo toma valores entre 1 y menos 1 de modo que menos 1 es menor o igual a equis que es menor o igual a 1 y estas dos restricciones son las que me dan el dominio y el contra dominio del arco coseno de hecho si quisieran podrían escribir que el arco coseno y espero no confundirlos con esto es una función que va del intervalo cerrado menos 1 1 en en el intervalo cero api mi dominio son valores que están entre menos uno y uno y mikko dominio son valores que están entre 0 y irradian es bueno y sólo quiero secar rápidamente mi trabajo en mi calculadora voy a poner seno al menos uno de menos 0.5 que es lo mismo que menos un medio y esto cuánto me da me da dos puntos serán 94 y eso es igual a 2 peter sí pues vamos a checar cuánto sería 2 por pi entre 3 nos da exactamente el mismo número por lo tanto estamos en lo correcto por lo tanto esto está muy bien ok ahora veamos algo interesante veamos la siguiente pregunta interesante qué sucede si primero tomó una equis algún valor de x entre menos uno y uno y le aplicó la función arco coseno consideró arco coseno de x ya eso le aplicó la función coseno como el coseno del arco coseno de x pues nosotros sabemos que el arco coseno de x arco coseno de x es igual a un ángulo theta y este ángulo theta satisface que coseno beteta es igual a equis esto lo anoté por acá arriba acá entonces esto de aquí para cualquier valor de x entre menos uno y uno satisface que esto es igual a el coseno de este ángulo theta que tiene la propiedad de que coseno eta es igual a equis y esto se vale para cualquier x entre menos uno y uno ahora les hago una pregunta por puntos extra una pregunta un poco más truculenta qué pasa si primero tomó el coseno de algún ángulo theta y después tomó el arco coseno considero el arco coseno del coseno de un ángulo theta entonces qué pasa y mi respuesta va a ser depende si te está está en el rango de mi función si te está está entre cero y pi irradia mes porque ryan es entonces el arco coseno lo único que va a hacer es regresarme el valor de teta y eso es porque el coche no detecta siempre es un número entre menos uno y uno y el arco coseno es un número entre cero y pi radiales y es único así que me regresaría teta pero qué pasa si teta no está en este rango si te está no está en ese rango entonces va a pasar algo curioso primero hagamos un ejemplo en el que te estás yeste en este rango esto valía sí 0 era menor o igual a theta menor o igual a pib por ejemplo vamos a hacer uno que conozcamos si considero el arco coseno el coseno de digamos dos tercios que es el que acabamos de hacer dos tercios cuánto sería esto pues coseno de dos tercios acabamos de ver es - un medio esto lo vimos acá arriba recuerdan cuando hicimos todo esto vimos que el cose no de dos tercios hasta aquí el coseno de dos tercios radiales es igual a menos un medio así que esto vale menos un medio todo es igual a arco coseno de menos un medio pero recuerden el arco coseno está entre 0 y radiales de modo que esto sería igual a dos tercios de hecho lo calculamos y nos dio dos tercios pero por ejemplo si pusiera cuánto vale el arco coseno del coseno de digamos por ejemplo 3 p 3 p claramente 3 pi es mayor que y por lo tanto no está dentro de este rango nuestra dentro del rango del arco coseno pues esto cuánto sería déjenme vuelvo a dibujar mi círculo unitario pongo mis ejes pongo mis ejes pongo mi círculo está bien y ahora cuánto estrés pues dos pies sería dar una vuelta completa carro doy una vuelta completa y regrese a este punto ya está llevando ahora me sobra pi así que doy otra media vuelta hasta que acabó en este punto de aquí y cuál es la coordenada x de ese punto pues es menos 1 este es el círculo unitario así que la coordenada x de este punto es menos 1 así que esto de aquí sería menos 1 de modo que esto es el arco coseno de menos 1 y cuánto es eso pues recuerden que el arco coseno siempre es menor o igual que 0 y menor o igual que así que esto el arco coseno de menos 1 sería igual a y radiales porque ese es precisamente este ángulo de aquí así que bueno la identidad que es más útil es ciertamente esta pero en realidad es bueno que sepan hacer las dos cosas nos vemos en la próxima