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Contenido principal

Introducción a la combinación de funciones

Familiarízate con la idea de que podemos sumar, restar, multiplicar, o dividir dos funciones, para obtener una nueva función.
Así como podemos sumar, restar, multiplicar y dividir números, podemos también sumar, restar, multiplicar y dividir funciones.

La suma de dos funciones

Parte 1: crear una nueva función al sumar dos funciones

Vamos a sumar f(x)=x+1 y g(x)=2x para hacer una nueva función.
f(x)+g(x)=(x+1)+(2x)=x+1+2x =3x+1
Llamemos a esta nueva función, h. Entonces, tenemos:
h(x)=f(x)+g(x)=3x+1

Parte 2: evaluar una función combinada

También podemos evaluar funciones combinadas para valores de entrada particulares. Evaluemos la función h para x=2. A continuación hay dos maneras de hacer esto.
Método 1: sustituye x=2 en la función combinada h.
h(x)=3x+1h(2)=3(2)+1=7
Método 2: Encuentra f(2) y g(2) y suma los resultados.
Ya que h(x)=f(x)+g(x), podemos determinar h(2) al calcular f(2)+g(2).
Primero, encontremos f(2):
f(x)=x+1f(2)=2+1=3
Ahora encontremos g(2):
g(x)=2xg(2)=22=4
Así que f(2)+g(2)=3+4=7.
Observa que ambos métodos, sustituir x=2 directamente en la función h, y calcular f(2)+g(2), ¡nos dan la misma respuesta!

Intentemos ahora algunos problemas de práctica.

En los problemas 1 y 2, sean f(x)=3x+2 y g(x)=x3.

Problema 1

Encuentra f(x)+g(x).

Problema 2

Evalúa f(1)+g(1).
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

Una conexión gráfica

También podemos entender qué significa sumar dos funciones mirando sus gráficas.
Las gráficas de y=m(x) y y=n(x) se muestran abajo. En la primera, observa que m(4)=2; en la segunda, que n(4)=5.
Sea p(x)=m(x)+n(x). Mira ahora la gráfica de y=p(x), y observa que p(4)=2+5=7.
Observando las tres gráficas, convéncete de que p(x)=m(x)+n(x) para cada valor de x.

¡Practiquemos!

Problema 3

Las gráficas de y=f(x) y y=g(x) se muestran abajo.
¿Cuál es la mejor aproximación de f(3)+g(3)?
Escoge 1 respuesta:

Otras maneras de combinar funciones

En todos los ejemplos que hemos estudiado hasta ahora, sumando dos funciones creamos una nueva. Pero, ¡también podemos crear nuevas funciones al restar, multiplicar y dividir dos funciones!
Por ejemplo, si f(x)=x+3 y g(x)=x2, podemos no solo encontrar la suma, sino también...
...la diferencia.
f(x)g(x)=(x+3)(x2)       Sustituye.=x+3x+2             Distribuye el signo negativo.=5                                  Combina términos semejantes.
...el producto.
f(x)g(x)=(x+3)(x2)            Sustituye.=x22x+3x6        Distribuye.=x2+x6                   Combina términos semejantes.
...y el cociente.
f(x)÷g(x)=f(x)g(x)=(x+3)(x2)                     Sustituye.
Al hacerlo, ¡hemos creado tres nuevas funciones!

Problema de desafío

p(t)=t+2
q(t)=t1
r(t)=t
Evalúa p(3)q(3)r(3)p(3).
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

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