Polinomios pares e impares

esta vez tenemos tres funciones aquí y lo que quiero que hagamos juntos es pensar para cada una de estas funciones si son pares o impares y solamente con un pequeño repaso recuerda que una función para una función par es aquella que tiene la propiedad de que f de menos x es exactamente lo mismo que f de x es decir es lo mismo poner menos x en la función que poner x en la función y para una función impar déjame ponerlo aquí para una función impar lo que se cumple es que f de menos x es exactamente lo mismo que menos f qué menos efe de x se ingresa menos x a la función te va a dar lo mismo que el negativo de ingresar a x en la función y bueno recuerda que también puede ser que tengas una función que no sea par ni sea impar que no sea ninguna de estas dos posibilidades entonces bueno probemos con estas tres funciones que tengo aquí así que empecemos con hdx y como siempre te encargo que pausa el vídeo y vea si tú puedes resolverlo por tu cuenta ok vamos a hacerlo vamos a evaluar h déjame ponerlo aquí h de menos x y bueno sabemos que hd menos x por la definición de h va a ser exactamente lo mismo que menos 10 que multiplica a menos x esto elevado a la potencia 11 más menos x esto elevado a la potencia de 9 - menos x esto elevado a la potencia 3 y después más 7 que multiplica a menos x muy bien ahora bien cuánto es menos x elevado a la potencia 11 bueno como la potencia 11 es impar menos equis elevado a la potencia 11 va a ser lo mismo que el negativo de x elevado a la potencia 11 ya que aquí tenemos un exponente impar dejen repetir lo que acabo de decir si tenemos por ejemplo dejan ponerlo aquí se me ocurre tomar una equis con un exponente más pequeño imagínate en menos x esto elevado al cubo bueno nosotros sabemos que esto es exactamente lo mismo que el negativo de x elevado al cubo sabemos que te va a dar un valor negativo de la misma manera si tenemos por ejemplo 2x elevado a la potencia esto elevado a la potencia de 7 es lo mismo que menos x séptima es decir me voy a tomar el negativo de x elevado a la potencia 7 y esto porque el exponente es impar y tú puedes intentarlo con cualquier valor que quieras por ejemplo si éste fuera menos uno menos uno elevado a la séptima potencia va a ser lo mismo que el negativo de uno elevado a la séptima potencia entonces con esto déjame escribir acá arriba que menos x elevado a la potencia 11 va a ser exactamente lo mismo lo voy a poner con su respectivo color que menos x elevado a la potencia 11 el negativo de x elevado la potencia 11 y bueno como está multiplicando al menos 10 lo voy a poner entre paréntesis entonces éste se va y de igual manera aquí tengo más o menos x esto elevado a la potencia 9 pero ya sabemos que como el 9 entonces me va a quedar menos x elevado a la potencia 9 dicho otra manera aquí estoy escribiendo que vamos a hacer primero los exponentes y al final le ponemos un signo negativo al principio así que éste también se va y bueno después tengo menos menos equis esto elevado la potencia 3 bueno este también lo podemos reemplazar por menos x elevado a la tercera potencia lo voy a poner entre paréntesis para no afectar este signo y al final tengo al 7 multiplicando a menos x así que aquí no hay nada que hacer así lo voy a dejar y ahora si tenemos menos 10 que multiplica al negativo de x elevado a la 11 bueno eso es lo mismo que negativo por negativo de positivo entonces me quedaría 10 x elevado a la potencia 11 y después tengo el negativo de x 9 bueno negativo por positivo es negativo x elevado a la potencia 9 y después me quedaría menos - x cúbica eso me va a dar más x cúbica por los signos y después tengo más x menos es menos 7x y ahora observa si te das cuenta todos estos son muy parecidos a los que tenía que arriba solamente que se le cambió el signo a cada uno de ellos todos tienen el signo contrario entonces esto es como siempre ha puesto lo mismo que el negativo de h de x entonces es menos hdx observa esto es lo mismo que agarrar a hdx y multiplicar cada uno de estos términos por menos 1 llegaríamos a esta expresión de trabajo dicho otra manera empecé con h de menos x y obtuve y obtuve menos hd lo que quiere decir que la función h es impar y una marca reveladora de todo esto que podrías ver desde el principio es que esta función está hecha por la suma de un montón de funciones impares por ejemplo aquí tenemos menos 10 x a la 11 y como x a la 11 tiene un exponente impar hace que este pedazo de aquí sea una función impar menos 10 x a la 11 por sí sola es una función impar lo mismo pasa con ex a la 9 como tenemos un exponente impar esta función por sí sola es una función impar lo mismo pasa con x pública como tenemos un exponente en par hace que esto sea una función impar y lo mismo pasa con 7x como tenemos un exponente impar entonces ésta sería una función impar por sí sola y entonces si sumas un montón de funciones impares vas a obtener una función impar todos estos términos tienen exponente impar lo que los hace funciones impar muy bien ahora pensemos en fx vamos a pensar en f de menos x lo voy a poner aquí efe de menos x y quién va a ser efe de menos x bueno pues esto va a ser lo mismo que menos 7 que multiplica a menos x esto elevado a su vez a la sexta potencia más déjame ponerlo así más 3 que multiplica a menos x elevado a la cuarta potencia menos 9 que multiplica a menos x elevado al cuadrado más 8 más 8 ahora bien esto va a ser lo mismo que menos 7 y después tengo un número negativo elevado a la sexta potencia como la potencia es par entonces esto va a ser lo mismo que un número positivo entonces esto será igual que menos 7 a la sexta potencia más tres y va a pasar lo mismo aquí tengo un número negativo elevado a la cuarta potencia bueno esto es lo mismo que la versión positiva de ese mismo número elevado a la cuarta potencia porque todos los signos se cancelan entonces tendremos 3x elevado a la cuarta potencia y aquí para sería lo mismo tendría menos 9 y aquí tengo un número negativo elevado al cuadrado es lo mismo que la versión positiva de ese número elevado al cuadrado por ejemplo piensa en menos 3 menos 3 al cuadrado es lo mismo que 3 al cuadrado por lo tanto aquí me quedarían menos 9 x cuadrada más entonces observa llegamos de nuevo a efe de x podemos decir que f de menos x es un mismo que f de x y bueno por lo tanto fx es una función par y realmente no te debe sorprender mucho todo esto porque si observas fx se obtiene de la suma de muchas funciones pares de un montón de funciones pares cada una de estas funciones es simétrica al eje james y entonces cuando las sumas vas a obtener una función para una función par que está hecha de un montón de términos que tienen grados pares sexto grado un cuarto grado segundo grado y grado cero puedes ver esto como grado cero bien ahora pensemos qué pasa con gdx y bueno si observas gtx que ya casi no se ve porque está un poco enterrada por aquí está gdx la puedes ver y decir gtx está formada por una función para aquí tengo otra función par y también tenemos funciones impares aquí tengo una función impar x elevado a la tercera de potencia y una función impar x elevado a la primera potencia entonces gtx es una mezcla de funciones pares e impares por lo tanto podrías asegurar que ésta no va a ser ni pan ni impar y bueno esto podemos probarlo es más vamos a hacerlo aquí si queremos trabajar con gdx déjame ponerlo con su color entonces vamos a trabajar con g de menos x hija de menos x quien va a ser va a ser lo mismo que 3 que multiplica a menos x esto elevado a la cuarta potencia y después tengo menos 10 que multiplica a menos x esto elevado a la tercera potencia después tengo - x esto a su vez elevado al cuadrado después tengo menos menos x muy bien pero menos x elevado a la cuarta potencia a quien va a ser igual bueno como tenemos un exponente par recuerda que esto lo podemos reemplazar por equis elevado a la cuarta potencia después tengo menos x esto a su vez elevado a la tercera potencia sabemos que esto es lo mismo que el negativo de x elevado a la tercera potencia y después aquí tengo menos x esto elevado al cuadrado bueno eso lo podemos ver como x elevado al cuadrado y al final bueno al final tengo a menos x entonces esto va a ser igual a quien a 3x a la cuarta potencia aquí tengo menos por menos es más 10x kubica y después tengo más x cuadrada y aquí tengo menos por menos es más más ahora observa esto en definitiva no es gdx porque si observas le cambiamos el signo a los términos impares le cambiamos el signo a los términos impares y tampoco es menos gdx porque solamente le cambiamos el signo a los términos impares le cambiamos el signo a este ya este pero no a los términos pares entonces en definitiva no es que de x ni tampoco es menos gdx entonces ésta podemos decir que no es par ni impar y hemos acabado