Graficar funciones racionales de acuerdo a sus asíntotas

tenemos que fx es igual a 3x cuadrada menos 18 x 81 sobre 6x cuadrada menos 54 y lo que quiero hacer en este vídeo es encontrar las ecuaciones de lajas into estás horizontal y vertical te invito a que le pongas pausa al vídeo e intentes hacerlo por tu cuenta antes de que lo hagamos juntos supongo que ya lo intentaste así es que encontremos cada una de ellas consideremos primero la asiento está horizontal la 5º está horizontal a ver si existe una de ellas la asiento theory zone tal es aquella recta aquella recta horizontal a la cual se acerca la función cuando el valor absoluto de x tiende a infinito cuando el valor absoluto de x tiende a infinito esto es a qué valor tienen de fx cuando x tienda infinito ya qué valor tienen de fx cuando x tiende a menos infinito hay varias maneras de hacer esto para empezar déjame fx nuevamente por acá abajo esto es 3 x cuadrado menos 18 x menos 81 todo esto dividido entre 6 x cuadrada menos 54 y aquí hay dos maneras de pensar en esto a medida que x tiene valores cada vez más grandes que el valor absoluto de x es cada vez más grande los términos de mayor orden arriba y abajo en la fracción los términos de mayor orden en el numerador y el denominador son los que van a dominar y cuáles son estos términos de mayor orden en el numerador es 3x cuadrada y en el denominador es 6x cuadrada así es que cuando el valor absoluto de x tiende a infinito cuando el valor absoluto de x tiende a infinito estos dos términos van a dominar así es que fx es aproximadamente igual a 3x cuadrada sobre 6x cuadrada estos términos ya no van a pesar obviamente menos 54 ya no va a crecer y menos 18 x va a crecer mucho más lento que 3x cuadrada los términos de mayor son los que van a pesar así es que fx se va a comportar como esto podemos simplificar aquí estos términos en x cuadrada f x se va a aproximar a 3 sextos que es igual a un medio podemos decir entonces que hay una sintonización tal en que igual a un medio otra manera para calcular esto si no te gusta el argumento digamos práctico que hemos usado por el cual estos dos términos son los que van a dominar es que podemos dividir tanto el numerador como el denominador entre x elevada a la mayor potencia la que se encuentre ya sea el numerador o el denominador así es que el término de mayor orden es x cuadrado en el numerador dividamos numerador y denominador entre x cuadrada de echo x cuadra es la mayor potencia tanto en el numerador como el denominador dividamos entonces tanto el numerador como el denominador entre x cuadrada así es que multiplicamos el numerador por uno entre x cuadrada y multiplicamos el denominador también por 1 entre x cuadrada nota que no estamos afectando la fracción pues estamos multiplicando la x 1 estamos suponiendo que x es distinta de 0 y esto nos da 3 x cuadrada entre x cuadrada es igual a 3 menos 18 sobre x menos 81 sobre x cuadrada y eso dividido entre 6x cuadrada entre x cuadrada es 6 menos 54 sobre x cuadrada y qué va a pasar para valores de x cada vez más grandes es decir queremos calcular el límite el límite cuando x tiende a infinito y esto cuánto va a ser bien este término este término y este término tienden a cero así es que la función se aproxima a tres sextos o un medio si queremos tomar el límite cuando x tiende a menos infinito sería lo mismo este este y este tienden a cero y la función de nueva cuenta tiende a un medio así es que esta es la cinta horizontal ye igual a un medio pensemos ahora en lajas into estás verticales voy a hacerlo por acá las síntomas verticales así notas verticales si es que existen y quizás hay más de una comúnmente se piensa que la cinta está vertical va a ocurrir cuando el denominador se hace cero que es cuando esta expresión racional no está definida pero como veremos para este caso eso no es exactamente así si únicamente hacemos el denominador igual a cero no necesariamente vamos a tener un asiento está vertical definitivamente la función está definida pero eso no basta para encontrar la cinta está vertical analicemos entonces este denominador podemos factorizar lo como de hecho vamos a factorizar numerador y denominador vamos a hacerlo por aquí fx es igual en el numerador podemos sacar 3 como factor común que multiplica a x cuadrada menos 6 x menos 27 y en el denominador podemos factorizar 6 6 que multiplica a x cuadrada menos 9 y aquí podemos seguir factor izando tanto numerador como denominador tenemos que fx es igual a 3 que multiplica veamos los números que multiplicados sean menos 27 y sumados sean menos 6 menos 9 y más 3 parecen funcionar esto es 3 por x menos 9 por x + 3 y el denominador es 6 y esto es una diferencia de cuadrados que multiplica a x menos 3 por x + 3 así que cuando se hace el denominador cero bien el denominador es igual a cero el denominador es igual a cero cuando x es igual a 3 x es igual a menos 3 ahora te invitó nuevamente a que hagas una pausa en el vídeo y pienses si estas dos son síntomas verticales quizá te diste cuenta que el numerador también se hace cero cuando x es igual a menos 3 por lo que podemos entonces simplificar esta expresión a fin de que encontremos las as into estás verticales vamos a hacer esto para simplificar fx podemos dividir entre x más 3 tanto el numerador como el denominador sólo hay que tomar en cuenta que esto está permitido para x distinto de menos 3 y esto lo tenemos que tomar en cuenta pues deseamos mantener la igualdad y recuerda que la división entre 0 no está permitida vamos a escribirlo entonces acá abajo fx es igual a dividimos entre x más 3 numerador y denominador para obtener que es 3 por x menos 4 sobre 6 por x menos 3 y esto es válido para x distinto x distinto de menos 3 observa que esta es una definición equivalente a nuestra función original pero tenemos que incluir esta condición que estoy poniendo aquí para x distinto de menos 3 pues la función original no está definida para x igual a menos 3 x igual a menos 3 no se encuentra en el dominio de la función original y si simplificamos estos términos en el numerador y el denominador al simplificar x + 3 tenemos que recordar esto si nosotros simplemente pusiéramos esto esta no sería la misma función si te fijas esta expresión si está definida para x igual a menos 3 y lo que queremos es exactamente la misma función así es que hemos encontrado un punto de discontinuidad aquí y ahora ya podemos considerarlas assynt o estás verticales estas ocurren para los valores de x que hacen 0 el denominador pero que no hacen 0 el numerador como vimos x igual a menos tres hace cero tanto el denominador como el numerador así es que hay un asiento está vertical lo voy a hacer en verde hay una a sin tota así en total vertical a cinto está vertical en x igual a tres cuando x es igual a 3 se hace ser el denominador pero no se hace 0 el numerador déjame escribirlo aquí la cinta está vertical es x igual a 3 ahora usando estas dos piezas de información que hemos obtenido aquí ya deberíamos de ser capaces de hacer un bosquejo de la gráfica de la función quizá necesitemos también graficar algunos puntos para ver cómo se comporta la función conforme se va acercando a ambas así todas pero sí quisiéramos esbozar la gráfica de hecho sí sí vamos a hacerla vamos a hacerla simplemente por diversión y también para tener una imagen completa de cómo se está comportando esta función la función se va a ver más o menos así se va a ver más o menos así no le estoy haciendo escala este es uno y este es un medio que igual a un medio es la cinta horizontal ya igual un medio es la cinta horizontal ésta igual a un medio y tenemos una cinta está vertical en x 3 aquí tenemos 12 mejor lo voy a hacer en azul 123 no lo hice en escala bueno x y lleno están en la misma escala aquí tenemos la 5ta vertical en x igual a 3 pero tan solo con esto no podemos saber cómo se ve la función quizás se ve así y también por aquí viene así la función o quizás aquí viene por acá o la mejor la función viene por aquí y por acá fue la mejor más bien viene por acá con esto tenemos una idea de cómo podría ser la función ya para verla más precisamente necesitamos graficar algunos puntos también hemos establecido claramente que la función no está definida en x igual a menos 3 déjame ubicar entonces x igual a menos 3 aquí tenemos menos 12 menos tres entonces no sabemos cómo es la función como hemos dicho pero si la función viniera por aquí aquí tendríamos que cambiárselo más clara con la cinta está aquí tendríamos el punto de discontinuidad y la función vendría por aquí con las a sin todas y por aquí podría seguir esta rama o si la función viniera por acá si la función minera por aquí por arriba de la cinta está entonces ahí estaría el punto de discontinuidad y esta sería la cim total ajustar ya cada vez más cerca del asiento está aquí podría venir la otra rama de la función o también podría venir por acá abajo de nueva cuenta para ver la forma precisa la función hay que graficar algunos de sus puntos te invito a que una vez terminado este vídeo obtengas algunos puntos para que puedas determinar la forma precisa de la gráfica de la función