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Regla de L'Hôpital: un problema desafiante

En este video usamos la regla de L'Hôpital para encontrar el límite en 1 de x/(x-1)-1/lnx. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

queremos determinar el valor del siguiente límite el límite que cuando x tiende a 1 b en la siguiente expresión de la expresión x entre x menos uno menos 1 entre el logaritmo natural de x ahora pues vamos a ver qué pasa si intentamos poner x igual a 1 en la expresión qué pasa si evaluamos en 1 entonces obtenemos en to tenemos lo siguiente un 1 aquí entre un 1 menos 1 algo del estilo 1 entre 0 - 1 entre cuál es el logaritmo natural de 1 y a la que me da 1 pues bueno cualquier cosa a la 0 me da 1 entonces a la 0 es 1 y por tanto el logaritmo natural de 1 es cero entonces vemos que tenemos esta forma indeterminada del estilo 1 entre 0 - 1 entre 0 que se extraña porque no es de la forma usual del hopital pero es una expresión rara no es la forma normal del estilo 0 entre 0 o de la forma infinito entre infinito y entonces pues podemos decir pues esto no parece ser algo que sea del hospital entonces hay que resolverlo de otra forma pero pues sabes que no hay que rendirnos aún a lo mejor esta cosa de la izquierda podemos manipular la algebraica mente para que tengamos una forma del estilo del hospital y podamos aplicar la regla entonces para hacer esto pues vamos a ver qué pasa cuando sumamos estas dos expresiones si las sumamos pues hay que ver cuál es el denominador común es x menos 1 por logaritmo natural de x simplemente las multiplique y bueno el numerador para el de el numerador tenemos que ver qué pasa si multiplicamos x entre x menos 1 por lo acarició natural de x no nos queda x logaritmo natural de x y después tenemos que restar tenemos que restar un x menos 1 entonces menos x menos 1 podemos partirla en cachitos y ver que estas dos expresiones son igualitas esto de acá de la izquierda pues es lo mismo que x entre x menos 1 porque el logaritmo natural de x se cancela arriba y abajo y pues del otro lado del lado derecho pues también es lo mismo que uno entre logaritmo natural de x porque el x menos 1 de arriba y de abajo se cancela entonces puesto al sumar estas dos cosas debe pasar algo más interesante vamos a tomar el límite cuando x tiende a 1 de esta nueva expresión porque estas dos son la misma cosa a lo mejor tenemos algo más padre entonces tenemos uno por el logaritmo natural de uno que es cero esto es un cero es un cero y luego hay que restar 11 que es otro cero entonces nos queda el numerador cero y en el denominador tenemos un 11 que es un 0 x un logaritmo natural de 1 que es otro 0 que nos va a dar 0 y ahí está encontramos una forma indeterminada de tipo local una cosa del estilo 0 entre 0 entonces tenemos que derivar arriba abajo y va a ver qué pasa entonces este límite si acaso existe va a ser igual al límite de cuando x tiende a 1 de y pues hay que derivar vamos a ver qué pasa vamos a derivar el numerador en magenta y para esta primera parte hay que utilizar la regla del producto la derivada de x es 1 entonces uno por el logaritmo natural de x después hay que sumar pues la derivada del logaritmo natural de x 1 entre x por el primer término que es x la regla del producto para derivadas entonces después hay que derivar x menos 1 y hay que restar la derivada de x1 es la derivada es 1 entonces hay que poner un -1 entonces todo esto de acá tenemos que dividir lo tenemos que dividirlo entre la derivada de x menos uno logaritmo de x del denominador entonces la derivada de x menos uno es uno así que simplemente hay que multiplicar eso por logaritmo natural de x y después hay que sumar la derivada del logaritmo natural del segundo término que es 1 / x por x menos 1 es el primer término x menos 1 y pues podemos simplificar un poco esta expresión porque este uno entre x al multiplicarse por x es un 1 que al restarle el 1 se cancelan y entonces toda esta expresión puede escribirse un poco más simple como el límite de cuando x tiende a 1 b el logaritmo natural de x lo dejamos en 90 y dividimos entre el logaritmo natural de x más x menos 1 entre x vamos muy bien entonces vamos a intentar evaluar esta cosa en x igual a 1 a ver qué pasa entonces va a ser algo del estilo bueno logaritmo de 1 es 0 estamos dividiendo entre el logaritmo natural de uno que es cero otra vez y tenemos que sumar 1 - 1 entre entre un 1 o sea es 1 - 1 entre 1 que es otro 0 entonces cuando hacemos eso volvemos a obtener un 0 entonces es una vez más una forma del estilo 0 entre 0 esto nos dice que tenemos que volver a usar la regla del hopital entonces derivamos numerador denominador y vamos a ver qué pasa debería de ser igual al límite en el límite de cuando x tiende a 1 de la derivada del logaritmo de x que es una entre x por qué es la derivada del logaritmo de x y eso hay que dividirlo entre la derivada del denominador la derivada del logaritmo de x es uno entre x y luego hay que sumar la derivada de x 1 entre x entonces tenemos que ver aquí es más fácil verlo la derivada de uno entre x que x a la menos uno pues vamos a ver qué pasa con esta éste es x al menos uno y es simplemente menos x a la menos y hay que multiplicarlo por el segundo término x menos 1 aplicando la regla del producto y hay que sumar la derivada de el segundo término x menos uno por uno entre x por 1 en 3 y entonces esto va a ser igual hay disculpas ario algo raro en mi computadora disculpa eso si lo escuchaste bueno estábamos en en simplificará claro estábamos en usar la regla del hopital esto va a ser igual a va a ser igual a y aquí ya podemos evaluar para x igual a 1 en el numerador tenemos 1 entre 1 que es 1 y ya nos escapamos de las formas indeterminadas o al menos de la cero entre 0 y en el denominador si evaluamos en 1 tenemos un 1 y hay que sumar menos 1 a la menos 2 o sea 1 a la menos 2 y luego con menos se hace menos 1 pero por el 1 menos 1 se hace un 0 todo es todo esto se cancela y hay que sumar un 1 entre 1 que es otro 1 finalmente llegamos a un medio y ahí está terminamos el problema usamos la regla del hopital unos cuantos pasos al principio no parecía una cosa del estilo 0 entre 0 pero sumamos obtuvimos esta expresión derivamos numerador y denominador un par de veces y obtuvimos nuestros resultados