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Justificación mediante la segunda derivada

"El razonamiento con base en cálculo" con la segunda derivada de una función puede usarse para justificar aseveraciones sobre la concavidad de la función original y sobre sus puntos de inflexión.
Hemos aprendido que la primera derivada f, prime nos da información sobre dónde la función original f crece o decrece y dónde f tiene puntos extremos.
La segunda derivada f, start superscript, prime, prime, end superscript nos da información acerca de la concavidad de la función original f y sobre dónde f tiene puntos de inflexión.

Revisemos qué es la concavidad

Una función es cóncava hacia arriba cuando su pendiente es creciente. Visualmente, una gráfica que es cóncava hacia arriba tiene forma de copa, \cup.
Se grafica la función f. El eje x no está numerado. La gráfica consiste en una curva. La curva comienza en el cuadrante 2, se mueve hacia abajo hasta el eje y, se mueve hacia arriba con concavidad hacia arriba a través de 2 puntos y termina en el cuadrante 1. Las rectas tangentes se mueven hacia arriba y tocan cada uno de los 2 puntos. La recta tangente al punto más alto, con un valor de x más alto, tiene una pendiente más inclinada que la recta tangente al punto inferior.
La gráfica de f es cóncava hacia arriba (observa su forma de \cup). Fíjate cómo mientras x crece, la pendiente es cada vez mayor.
De manera similar, una función es cóncava hacia abajo cuando su pendiente es decreciente. Visualmente, una gráfica que es cóncava hacia abajo tiene forma de sombrero, \cap.
Se grafica la función g. El eje x no está numerado. La gráfica consiste en una curva. La curva comienza en el cuadrante 2, se mueve hacia arriba con concavidad hacia abajo hasta el eje y, se mueve hacia abajo con concavidad hacia abajo a través de 2 puntos y termina en el cuadrante 4. Las rectas tangentes se mueven hacia abajo y tocan cada uno de los 2 puntos. La recta tangente al punto inferior, con un valor de x más alto, tiene una pendiente más inclinada que la recta tangente al punto más alto.
La gráfica de g es cóncava hacia abajo (observa su forma de \cap). Fíjate cómo mientras x crece, la pendiente decrece.
Un punto de inflexión es aquél en el que una función cambia de concavidad.
Se grafica la función f. El eje x no está numerado. La gráfica consiste en una curva. La curva comienza en el cuadrante 2, se mueve hacia abajo con concavidad hacia arriba hasta un punto en el cuadrante 1, se mueve hacia arriba con concavidad hacia arriba hasta un punto de inflexión, continúa hacia arriba con concavidad hacia abajo hasta un punto, se mueve hacia abajo con concavidad hacia abajo y termina en el cuadrante 4.

Cómo f, start superscript, prime, prime, end superscript nos da información sobre la concavidad de f

Cuando la segunda derivada f, start superscript, prime, prime, end superscript es positiva, significa que la primera derivada f, prime es creciente, lo que quiere decir que f es cóncava hacia arriba. Del mismo modo, f, start superscript, prime, prime, end superscript negativa significa que f, prime es decreciente y que f es cóncava hacia abajo.
f, start superscript, prime, prime, end superscriptf, primef
positiva pluscreciente \nearrowcóncava hacia arriba \cup
negativa minusdecreciente \searrowcóncava hacia abajo \cap
cruza el eje x (cambia de signo)punto extremo (cambia dirección)punto de inflexión (cambia de concavidad)
Aquí está un ejemplo gráfico:
f, start superscript, prime, prime, end superscriptf, primef
Observa cómo f es start color #aa87ff, start text, c, o, with, \', on top, n, c, a, v, a, space, h, a, c, i, a, space, a, b, a, j, o, end text, end color #aa87ff a la izquierda de x, equals, c y start color #1fab54, start text, c, o, with, \', on top, n, c, a, v, a, space, h, a, c, i, a, space, a, r, r, i, b, a, end text, end color #1fab54 a la derecha de x, equals, c.
Problema 1
Sea f una función dos veces diferenciable. Esta es la gráfica de su segunda derivada, f, start superscript, prime, prime, end superscript.
¿Sobre qué intervalo f siempre es cóncava hacia arriba?
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Error común: confundir la relación entre f, f, prime y f, start superscript, prime, prime, end superscript

Recuerda que para que f a sea cóncava hacia arriba, f, prime debe ser creciente y f, start superscript, prime, prime, end superscript debe ser positiva. Otros comportamientos de f, f, prime y f, start superscript, prime, prime, end superscript no están necesariamente relacionados.
Por ejemplo, en el problema 1 anterior, f, start superscript, prime, prime, end superscript es cóncava hacia arriba en el intervalo open bracket, minus, 8, comma, minus, 2, close bracket, pero eso no significa que f sea cóncava hacia arriba en ese intervalo.
Problema 2
Sea h una función dos veces diferenciable. Esta es la gráfica de su segunda derivada, h, start superscript, prime, prime, end superscript.
¿Dónde h tiene un punto de inflexión?
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¿Quieres más práctica? Intenta este ejercicio.

Error común: malinterpretar la información gráfica presentada

Imagínate un estudiante que intenta resolver el problema 2 de arriba y piensa que la gráfica es de la primera derivada de h. En ese caso, h tendría un punto de inflexión en A y B, porque estos son los puntos donde h, prime cambia de dirección. Este estudiante estaría cometiendo un error, porque se trata de la gráfica de la segunda derivada y la respuesta correcta es D.
Recuerda siempre asegurarte de que entiendes la información dada. ¿Nos dan la gráfica de la función f, de la primera derivada f, prime, o de la segunda derivada f, start superscript, prime, prime, end superscript?
Problema 3
La función doblemente diferenciable g y su derivada g, prime se grafican a continuación.
A cuatro estudiantes se les pidió dar una justificación apropiada con base en cálculo de por qué g tiene un punto de inflexión en x, equals, minus, 2.
¿Puedes hacer coincidir los comentarios del profesor con las justificaciones?

El uso de la segunda derivada para determinar si un punto extremo es un máximo o un mínimo

Imagina que nos dicen que una función f tiene un punto extremo en x, equals, 1, y que es cóncava hacia arriba en el intervalo open bracket, 0, comma, 2, close bracket. ¿Podemos decir, con base en esta información, si ese punto extremo es un máximo o un mínimo?
La respuesta es SÍ. Hay que recordar que una función que es cóncava hacia arriba tiene forma de copa, \cup. Con esa forma, una curva solo puede tener un punto mínimo.
Del mismo modo, si una función es cóncava hacia abajo y tiene un extremo, ese extremo debe ser un punto máximo.
Se grafica la función f. El eje x no está numerado. La gráfica consiste en una curva. La curva comienza en el cuadrante 2, se mueve hacia abajo con concavidad hacia arriba hasta un punto mínimo en el cuadrante 1, se mueve hacia arriba con concavidad hacia arriba y luego con concavidad hacia abajo hasta un punto máximo en el cuadrante 1, se mueve hacia abajo con concavidad hacia abajo y termina en el cuadrante 4.
Problema 4
La función doblemente diferenciable h y su segunda derivada h, start superscript, prime, prime, end superscript se grafican a continuación.
Dado que h, prime, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis, equals, 0, ¿cuál es una justificación apropiada con base en cálculo para el hecho de que h tenga un máximo local en x, equals, minus, 4?
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