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Contenido principal

Justificación mediante la primera derivada

Echemos un vistazo a cómo el comportamiento de una función se relaciona con el comportamiento de su derivada. Este tipo de razonamiento se llama "razonamiento con base en cálculo". Aprende cómo aplicarlo correctamente.
Un derivada f, prime nos da todo tipo de información interesante sobre la función original f. Echemos un vistazo.

Cómo f, prime nos da información sobre dónde f es creciente o decreciente

Recordemos que una función es creciente cuando, conforme aumentan los valores de x, también lo hacen los valores de la función.
Gráficamente, esto significa que a medida que vamos hacia la derecha, la gráfica se mueve hacia arriba. Del mismo modo, una función decreciente se mueve hacia abajo a medida que nos movemos a la derecha.
Se grafica la función f. El eje x no está numerado. La gráfica consiste en una curva. La curva comienza en el cuadrante 3, se mueve hacia arriba, o es creciente, con concavidad hacia abajo, hasta un punto en el cuadrante 2, se mueve hacia abajo, o es decreciente, con concavidad hacia abajo, hasta un punto en el cuadrante 4 y luego se mueve hacia abajo, con concavidad hacia arriba, hasta un punto en el cuadrante 4, se mueve hacia arriba, o es creciente, con concavidad hacia arriba, y termina en el cuadrante 1.
Ahora supongamos que no tenemos la gráfica de f, pero tenemos la gráfica de su derivada, f, prime.
Se grafica la función f prima. El eje x no está numerado. La gráfica consiste en una curva en forma de U. La curva comienza en el cuadrante 2, se mueve hacia abajo con concavidad hacia arriba a través del eje x negativo hasta un punto en el cuadrante 4, se mueve hacia arriba con concavidad hacia arriba a través de un punto en el eje x positivo y termina en el cuadrante 1.
Aun con esta información podemos determinar cuándo f crece o decrece, basándonos en el signo de la derivada, f, prime:
  • Los intervalos donde la derivada f, prime es start color #1fab54, start text, p, o, s, i, t, i, v, a, end text, end color #1fab54 (es decir, que está encima del eje x) son los intervalos donde la función f es start color #1fab54, start text, c, r, e, c, i, e, n, t, e, end text, end color #1fab54.
  • Los intervalos donde f, prime es start color #aa87ff, start text, n, e, g, a, t, i, v, a, end text, end color #aa87ff (es decir, que está debajo del eje x) son los intervalos donde f es start color #aa87ff, start text, d, e, c, r, e, c, i, e, n, t, e, end text, end color #aa87ff.
La gráfica de la función f prima tiene 3 porciones destacadas. La porción de la gráfica que se mueve hacia abajo en el cuadrante 2 es donde f prima es positiva y f es creciente. La porción de la gráfica que se mueve hacia abajo en el cuadrante 3 y luego hacia arriba en el cuadrante 4 es donde f prima es negativa y f es decreciente. La porción de la gráfica que se mueve hacia arriba en el cuadrante 1 es donde f prima es positiva y f es creciente.
Cuando justificamos las propiedades de una función a partir de su derivada, estamos usando razonamiento con base en cálculo.
Problema 1
Estas son dos justificaciones válidas de por qué una función f es creciente:
A. Conforme los valores de x crecen, los valores de f también crecen
B. La derivada de f siempre es positiva
¿Cuál de las siguientes es una justificación con base en cálculo?
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Problema 2
La función diferenciable f y su derivada f, prime se grafican a continuación.
¿Cuál es una justificación con base en cálculo apropiada para garantizar que f es decreciente cuando x, is greater than, 3?
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Error común: no relacionar la gráfica de la derivada con su signo

Al trabajar con la gráfica de la derivada, es importante recordar que estos dos hechos son equivalentes:
  • f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, is less than, 0 en un determinado punto o intervalo.
  • La gráfica de f, prime está por debajo del eje x en este punto/intervalo.
(Lo mismo pasa con f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, is greater than, 0 y el hecho que la gráfica esté encima del eje x).

De qué manera f, prime nos indica los lugares en los que f tiene un mínimo local o máximo local

Para que una función f tenga un máximo local (o relativo) en un punto determinado, debe aumentar antes de ese punto y disminuir después de ese punto.
En el punto máximo la función no es creciente ni decreciente.
Se grafica la función f. El eje x no está numerado. La gráfica consiste en una curva. La curva comienza en el cuadrante 3, se mueve hacia arriba, o es creciente, con concavidad hacia abajo, hasta un máximo local en el cuadrante 2, se mueve hacia abajo, o es decreciente, con concavidad hacia abajo, hasta un punto en el cuadrante 4 y luego se mueve hacia abajo, con concavidad hacia arriba, hasta un punto en el cuadrante 4, se mueve hacia arriba, con concavidad hacia arriba, y termina en el cuadrante 1.
En la gráfica de la derivada f, prime, esto significa que la gráfica cruza el eje x en ese punto, por lo que la gráfica está por encima del eje x antes del punto y por debajo del eje x después.
Se grafica la función f prima. El eje x no está numerado. La gráfica consiste en una curva en forma de U. La curva comienza en el cuadrante 2, se mueve hacia abajo con concavidad hacia arriba a través del eje x negativo, donde f tiene un máximo local, hasta un punto en el cuadrante 4, se mueve hacia arriba con concavidad hacia arriba a través de un punto en el eje x positivo y termina en el cuadrante 1.
Problema 3
La función diferenciable g y su derivada g, prime se grafican a continuación.
¿Cuál es una justificación con base en cálculo apropiada para garantizar que g tiene un punto mínimo local en x, equals, minus, 3?
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Error común: confundir la relación entre la función y su derivada

Como vimos, el signo de la derivada corresponde a la dirección de la función. Sin embargo, no podemos hacer ninguna justificación con base en otras clases de comportamiento.
Por ejemplo, el hecho de que la derivada sea cada vez mayor no significa que la función sea creciente (o positiva). Además, que la derivada tenga un máximo local o un mínimo local en un cierto valor de x no significa que la función deba tener un máximo local o un mínimo local en ese valor de x.
Problema 4
La función diferenciable h y su derivada h, prime se grafican a continuación.
A cuatro estudiantes se les pidió dar una justificación apropiada con base en cálculo de por qué h es creciente cuando x, is greater than, 0.
¿Puedes hacer coincidir los comentarios del profesor con las justificaciones?

¿Quieres practicar más? Intenta resolver este ejercicio.

Error común: el uso de un lenguaje oscuro o poco específico.

Cuando miramos la relación entre una función y su derivada, hay muchos factores en juego: la función en sí misma, la derivada de la función, la dirección de la función, el signo de la derivada, etcétera. Es importante tener muy claro de qué estamos hablando en cada momento.
Por ejemplo, en el problema 4, la justificación con base en cálculo correcta para garantizar que h es creciente es que h, prime es positiva, o está por encima del eje x. Una de las justificaciones de los estudiantes fue "está arriba del eje x." La justificación no especifica ¿qué está sobre el eje x?: ¿la gráfica de h?, ¿la gráfica de h, prime? ¿O tal vez algo más? Sin ser específico, dicha justificación no es aceptable.