Dibujo de curvas con el uso de cálculo: logaritmo

supongamos que tenemos la función fx igual a logaritmo natural de x a la cuarta más 27 lo que queremos hacer es tomar su primera y segunda derivada y usar todas las técnicas que tenemos para intentar hacer su gráfica si tenemos tiempo sacar la calculadora gráfica después para ver qué tanto nuestro dibujo coincide con el de la calvo una buena forma de empezar es tomando la derivada de esto entonces la derivada de fs efe prima de x y es igual a pues a ver es la derivada de lo de adentro entonces la derivada aquí adentro es 4 x al cubo y luego hay que multiplicar por la derivada de lo de afuera evaluada en lo de adentro afuera tenemos logaritmo natural y su derivada es 1 / x lo de adentro es x a la cuarta más 27 entonces nos quedaría x 1 / x a la cuarta más 27 ok si te parece un poco confuso a lo mejor quieras volver a checar el vídeo de la regla de la cadena pero bueno esa es la primera derivada que escribir así como 4x al cubo entre x a la cuarta más 27 o bien como 4x al cubo x x a la cuarta más 27 elevado a la menos 1 todas estas tres expresiones son iguales ya se han multiplicado ya sea acá con el exponente a la menos uno o como fracción estas tres expresiones son igualitas vale esa es la primera derivada pasamos a la segunda la segunda derivada vaya a esto ya se empieza a ver un poco más tenebroso bueno va la segunda derivada es igual a haber entonces ahora podemos usar la regla del producto era la derivada del primero multiplicado por el segundo ok para la derivada del primero baje el 3 3 por 4 12 12 x al cuadrado verdad bajamos el exponente 1 x esto multiplicado por equis a la cuarta más 27 a la menos 1 y luego a eso queremos sumarle la primera expresión a ver la pongo con verde 4 x al cubo x la derivada de la segunda expresión la derivada de la segunda expresión es otra regla de la cadena es la derivada de lo de adentro que simplemente es 4 x al cubo entonces nos queda por 4 x al cubo multiplicado por la derivada de lo de afuera evaluada en lo de adentro entonces multiplicada por pues aquí es elevar a la menos 1 bajamos el exponente x menos 1 y luego esta cosa es x a la cuarta más 27 y tenemos que elevar al exponente disminuido en 1 es decir elevar a la menos 2 entonces déjame ver tipo simplificar esta expresión un poco entonces esto es igual a es igual a 12 x al cuadrado / / x a la cuarta más 27 y luego tenemos que sumar esta expresión o más bien como hay un menos restar la haber 4 x 4 es 16 aquí está 16 x al cubo x x al cubo es x a lasexta y luego nos queda esta expresión a la menos 2 entonces podemos dividir entre x a la cuarta más 27 elevado al cuadrado simplemente lo que hice fue cambiar un exponente negativo aquí a un exponente positivo pero poniéndolo en el denominador no he hecho hasta aquí nada raro déjame ver si puedo simplificar un poco más esta fracción como lo que nos gustaría eventualmente es igualar esta derivada a 0 para encontrar puntos críticos entonces sería útil tener una fracción sólida en vez de tener una diferencia de fracciones entonces lo que podemos hacer es pues pasar todo al denominador común verdad entonces esto tenemos que multiplicarlo por x a la cuarta más 27 para hacer coincidir los denominadores nos queda haber arriba hay que multiplicar por x a la cuarta más 27 entonces nos queda 2x al cuadrado por x a la cuarta más 27 y luego hay que dividir entre x a la cuarta más 27 y eso elevado al cuadrado lo único que hice fue multiplicar el numerador y denominador por x a la cuarta más 27 no he cambiado nada luego hay que restar 16 x a la sexta dividido entre x a la cuarta más 27 elevado al cuadrado va entonces ahora ya tenemos un denominador común y podemos sumar las fracciones bueno restar las nos queda igual a ver hay que multiplicar aquí es todo déjame poner la rayita de fracción abajo nos queda x a la cuarta más 27 al cuadrado esta expresión es el denominador y en el numerador nos queda 2x al cuadrado por equis a la cuarta que es 12 x a la 6 y luego hay que hacer un 27 por 2 se me dio un poco de flojera hacerlo no voy a dejar expresado así lo voy a poner simplemente como un más 27 por 12 por x al cuadrado verdad aquí está 2x cuadrada por 27 y luego hay que restar 16 x a la sexta menos 16 x a la sexta va entonces esto se va a simplificar todo ya podemos cancelar unas cositas por los x a la sexta verdad entonces nos queda igual y lo voy a hacer aquí en color rosa nos queda 27 x 12 x cuadrada esto estoy evitando hacerlo por un momento y luego a ver es menos 16 x a la sexta más 12 x a la sexta que nos queda menos 4 por equis a la sexta sale todo eso dividido entre equis a la cuarta más veintisiete le pongo por aquí unos paréntesis y lo elevó al cuadrado listo con esto encontramos la segunda derivada muy bien ya encontramos las derivadas y vaya que fue la pto psoe lo que sigue es encontrar aquellos puntos para los cuales se anulan la primera y la segunda derivada con esto tendremos los puntos críticos y los candidatos a puntos de inflexión a lo mejor con eso comenzamos a ver la luz al final del túnel entonces empezamos con cuando la derivada se hace igual a cero o bien cuando la primera derivada no queda definida ahí podría haber otro punto crítico entonces esta expresión esta de aquí es igual a cero solamente cuando el numerador es igual a cero el denominador si lo observamos bien y suponemos que tenemos puros números reales aquí hay algo positivo pues es un número elevado al cuadrado bueno más bien es algo al cuadrado al cuadrado pero también es positivo y cuando le sumamos 27 pues siempre queda mayor o igual que 27 entonces nunca puede ser negativo ni cero entonces tampoco pues puede estar no definido verdad entonces en todos los puntos la deriva de está definida de este modo para que la derivada sea igual a cero necesitamos que 4x al cubo sea igual a 0 y la única solución de esta ecuación es para cuando x es igual a 0 haber 4x al cubo es igual a cero implica que x al cubo es igual a 0 y para que algo al cubo sea igual a 0 es porque x es igual a 0 entonces f prima de 0 es igual a 0 va entonces es 0 es un punto crítico déjame lo escribo por aquí es un punto crítico la pendiente en cero es cero no sabemos si es un máximo un mínimo o si es un punto de inflexión todavía claro podría ser pues alguna cosa más rara verdad no ahorita vamos a explorarlo pero bueno vamos a obtener las coordenadas las coordenadas son cero coma y que es logaritmo natural si x es cero esto es 0 nos queda el logaritmo natural de 27 déjame está con la calculadora dijimos que no vamos a usar una calculadora gráfica todavía pero esta es una calculadora a ver logaritmo natural de 27 es tres puntos pues como 3.3 a ver entonces déjame copiarlo por aquí voy a ponerle tres puntos mejoró como 3.29 para hacer un poco más precisos ok entonces este de aquí es nuestro punto crítico aquí la pendiente es igual a cero vale ok entonces en x igual a cero la pendiente 0 déjame ponerlo aquí en un rectángulo para acordarnos de eso ahora pasemos a los candidatos a puntos de inflexión recuerda necesitamos que la segunda derivada se anule pero si la segunda derivada sea nula eso no nos dice que definitivamente tenemos un punto de inflexión déjame escribirlo aquí abajo porque es muy importante esto a ver si x es un punto de inflexión entonces la segunda derivada en x es igual a 0 porque pues ahí tenemos un cambio en la concavidad de la función verdad pasamos de que tuviéramos una concavidad positiva o más bien una pendiente que iba aumentando a una pendiente que iba disminuyendo o viceversa pero si la derivada si la segunda derivada es igual a 0 no podemos suponer que es un punto de inflexión entonces lo que tenemos que hacer es encontrar todos los candidatos es decir en donde se cumple esto y ver si realmente tenemos un cambio de signo en la derivada en ese punto y solo si tenemos un cambio de signo podemos llamarle un punto de inflexión entonces si simplemente la segunda derivada es igual a cero eso no quiere decir que tenemos un punto de inflexión además de eso necesitamos que haya un cambio en el signo de la segunda derivada vale no me canso de decirlo verdad bueno entonces déjame escribirlo aquí sí efe doble prima cambia de signo x entonces ahí sí podemos decir que x es un punto de inflexión ahora sí cambia signos alrededor de x pues claro que la segunda derivada va a ser igual a 0 pero bueno hay que ver que antes era negativo y después era positivo o bien viceversa entonces vamos a ver si esto pasa la primera cosa que necesitamos hacer es encontrar estos puntos candidatos recuerda los puntos candidatos es donde se anula la segunda derivada vamos a encontrar aquellos puntos y vamos a ver si esto es cierto que el signo cambia alrededor de ellos entonces queremos encontrar donde esto es igual a 0 es el mismo argumento verdad para que todo sea igual a 0 el numerador debe de ser igual a cero porque el denominador siempre es positivo es exactamente el mismo argumento que habíamos dado arriba entonces vamos a ver donde el numerador se hace igual a cero ok entonces vamos a poner que 27 x 12 x a la cuarta menos 4 x a la sexta es igual a cero recuerda esto de aquí es el numerador de la segunda derivada pero cualquier x que haga el numerador 0 va a hacer que la segunda derivada se haga 0 entonces vamos a factorizar un 4x cuadrada haber 4x cuadrada x 27 por aquí hay que sacar un 4 entonces nos queda nada más un 3 y el x cuadrada ya lo sacamos menos el 4 ya lo sacamos y aquí nos queda x a la cuarta igual a 0 sale entonces las x es que hacen esto igual a cero son ya sea a ver déjame cambiar el color ya sea 4 x al cuadrado igual a 0 o bien 27 x 3 a eso sí lo podemos hacer verdad eso de eso 7 por 3 21 23 por 26 81 81 menos menos x a la cuarta igual a 0 a ver cualquier x que satisfaga cualquiera de estos dos va a ser que la expresión sea igual a cero si alguna de éstas es cero el producto es cero y viceversa verdad dijimos que esto de aquí era 81 ok entonces 4x cuadrada de cero cuando x es igual a cero misma idea que arriba verdad necesitamos que x cuadrada sea igual a cero y sólo pasa si x es igual a cero aquí a la derecha necesitamos que x a la cuarta sea igual a 81 y haber sacamos raíz cuadrada obtenemos x al cuadrado es igual a 9 y a partir de esta expresión x es igual a más menos 3 x + menos no perdón perdón x es igual a más menos 3 listo entonces estos de aquí son nuestros candidatos a puntos de inflexión x igual a 0 x igual a más 3 o equis igual a menos 3 entonces lo que tenemos que hacer es ver si la segunda derivada cambia de signo alrededor de estos puntos esto para verificar si son puntos de inflexión o no entonces qué sucede cuando x es un poquito pero bien poquito más chiquito que 0 a ver lo voy a hacer por acá qué pasa cuando x está abajo de cero no muy muy muy chiquito sino como x igual a punto uno vamos a ver cuánto es la segunda derivada ahí si x es igual a punto 1 entonces a ver si x es menos punto 1 esto de aquí es positivo verdad y este término de acá va a ser 81 menos punto 1 a la cuarta punto 1 a la cuarta es súper chiquito verdad entonces nos queda un positivo por 81 menos un número chiquito entonces es un número positivo entonces cuando x es menor que cero bueno un poquito más chiquito que cero efe doble prima evaluada en x es mayor que cero ahora qué sucede cuando x es un poquito más grande cuando escribo esta anotación simplemente me estoy refiriendo a que es esta abajito de cero verdad aquí también me refiero a que x está arriba de cero digamos cuando x es igual a punto uno pues bases más o menos lo mismo verdad aquí tenemos una potencia 4a estamos perdiendo realmente la información de signo entonces si x es igual a punto 1 esto de aquí es un número positivo chiquito estamos restando un número muy chiquito de 81 y 81 menos un número chiquito de todas formas es como positivo verdades como 80.9 bla bla bla entonces la segunda derivada también nos queda positiva fíjate aquí pasa algo interesante en f es decir la segunda derivada es cero cuando x es igual a 0 pero no es un punto de inflexión pues fíjate como la concavidad de la función no cambia alrededor de 0 nuestra derivada aquí es positiva conforme nos acercamos a x por la izquierda y también es positiva cuando estamos a la derecha de 0 entonces en general en 0 bueno conforme estamos cerca de 0 en cualquier dirección tenemos una función cóncava hacia arriba entonces el hecho de que 0 sea un punto crítico combinado con que la pendiente siempre crece nos lleva a la conclusión de que este punto de aquí tiene que ser un punto mínimo aquí escribo mínimo vale porque pues porque estamos en cóncavo hacia arriba y cóncava hacia arriba y punto crítico nos da un mínimo entonces es cero no es un punto de inflexión vamos a ver qué pasa con más menos 3 entonces si estudiamos esta ecuación déjame escribir y sabes que déjame aclarar esto sigue usando el puro numerador de la segunda derivada porque mira todo esto es la segunda derivada pero he estado ignorando el denominador porque el denominador siempre es positivo entonces si queremos entender el signo de la segunda derivada basta entender el signo del numerador porque el denominador siempre es positivo cualquier cosa entre más tiene el mismo signo que la cualquier cosa entonces pues vamos a ver si hay un cambio de concavidad alrededor de x igual a más 3 o menos 3 entonces recuerda déjame escribir por aquí la segunda derivada f doble primer x es igual a el numerador es 4x al cuadrado x 81 menos x a la cuarta y el denominador lo tengo aquí arriba es x a la cuarta más 27 al cuadrado lo pongo aquí x a la cuarta más 27 elevado al cuadrado vale entonces esa es la segunda derivada vamos a ver si esto cambia de signo alrededor de más menos 3 vamos a obtener la misma respuesta en más y menos tres verdad porque fíjate que tenemos puras potencias pares eso nos hace perder la información del signo entonces basta con checar que pasen más tres o en menos tres para entender si realmente tenemos un punto de inflexión o no cuando hagamos la prueba pues basta hacerlo para uno de ellos entonces vamos a intentarlo de todas formas vamos a hacerlo para cuando x es un poco más chiquito que 3 y entonces qué pasa con el signo de esto tenemos 4 por 3 al cuadrado o sea es 4 por un número positivo entonces esto de aquí de todas formas nos va a quedar positivo aquí nos queda positivo cuando x se acerca a 3 y de este lado tenemos pues a ver si x es 3 esto es 0 entonces si x es un poquito más chiquito entonces nos queda 81 menos algo un poco más chiquito que 81 de modo que nos queda pues 81 menos algo más chiquito es positivo el denominador también es positivo entonces si x es un poquito más chiquito que 3 tenemos que la segunda derivada es positiva entonces efe doble prima es mayor que 0 y por tanto las funciones cóncava hacia arriba ahora cuando x es un poquito más grande que 3 vamos a ver qué sucede aquí tenemos de todas formas una cosa positiva pero aquí si x es un poquito más grande que 3x a la cuarta es un poquito más grande que 81 y entonces este segundo término es negativo entonces en esta situación aquí es negativo a ver con otro color entonces cuando x es un poquito más grande esto es más grande tenemos algo negativo éste es positivo el producto es negativo el dividido entre positivo es negativo bueno espero no haberte hecho bolas pero el resumen es que la derivada es negativa y tenemos que la función es cóncava hacia abajo va vamos a ver qué pasa cuando x es un poquito más grande que menos 3 ya sé que ya habíamos argumentado que iba a pasar lo mismo pero vamos otra vez a decir cómo va la cosa a ver aquí tenemos algo negativo elevado al cuadrado entonces eso se vuelve positivo aquí tenemos algo positivo ahora digamos menos 2 puntos 99 a la cuarta es un poquito más chiquito que 81 pero es algo positivo entonces a 81 le estamos restando pues una cosa más chiquita que 81 nos queda positivo va una vez más tenemos cóncavo hacia arriba y qué sucede finalmente cuando x es un poco más chiquito que menos 3 es decir que se está tantito a la izquierda de menos 3 vale entonces simplemente me refiero a las x que están pegadas a menos 3 a la izquierda no a todas las x es que son menores que menos 3 a lo mejor debería cambiar de anotación pero bueno ya ya casi terminamos verdad vale entonces vamos a ver qué pasa con x tantito a la izquierda de menos 3 vámonos para acá entonces este término va a ser positivo pero qué pasa aquí tenemos menos 3.1 a la cuarta entonces eso va a ser más grande que 81 porque el x a la cuarta se vuelve positivo porque es una potencia para entonces nos queda negativo entonces en este caso tenemos más x menos entre más de modo que la segunda derivada es menor que cero la función es cóncava hacia abajo muy bien entonces claro que yo estamos listos para graficar pero terminamos con los puntos de inflexión si logramos conseguir puntos de inflexión pues si cuando nos acercamos por la izquierda menos 3 estamos cóncavo hacia arriba cuando lo cruzamos la segunda derivada a ella la perdí por acá arriba aquí está al cruzar 3 la segunda derivada se hace 0 pero luego conforme nos vamos a la derecha de 3 tenemos que se vuelve cóncavo hacia abajo entonces hay un cambio de signo en la segunda derivada y por tanto 3 es definitivamente un punto de inflexión lo mismo pasa con menos 3 al atravesarlo la segunda derivada cambia de signo y por tanto ambos son puntos de inflexión va vamos a encontrar sus coordenadas para poder encontrar estos puntos en el plano ahorita que grafica hemos es un buen momento para recapitular los puntos que llevamos hasta abrir el primero que teníamos era 03.29 ya habíamos dicho que era un punto mínimo entonces cero era punto crítico verdad y la pendiente era cero y además porque ahí es cóncavo hacia arriba entonces es cero no puede ser un punto de inflexión y luego tres y menos tres ya sabemos que son puntos de inflexión y para encontrar cuáles son sus coordenadas en y pues vamos a ver cómo estaba definida a efe a ver cuando a tener la misma coordenada en verdad porque más o menos 3 nos va a dar lo mismo aquí arriba entonces nos queda 3 a la cuarta es 81 ahora 81 27 es igual a 108 ya eso le tenemos que sacar su logaritmo natural logaritmo natural a esta es 4.68 digamos que es 4.7 va entonces eso va a pasar tanto como para 3 y para menos 3 nos queda 4.7 listo estos de aquí son puntos de inflexión puntos de inflexión ahora sí estamos listos para graficar la función a ver déjame dibujar los ejes por aquí perdón los ejes por aquí ahí tenemos el eje x de este lado tenemos el eje eje x eje y ahí le podemos poner fx aquí le ponemos x entonces el punto 0,3 punto 29 1 2 3 4 5 bar entonces el punto 03.29 queda como por aquí verdad ahí tenemos un mínimo de nuestra función y luego a ver la la pendiente ahí es pero déjame pintar hay una pendiente igual a cero fue lo primero que determinamos y sabemos que las funciones cóncava hacia arriba entonces ahí se ve más o menos así y luego 3 1 2 3 aquí tenemos que tomar valor 4.7 entonces es algo de este estilo y tenemos un punto de inflexión de ahí antes de eso teníamos que la función era cóncava hacia arriba y después era cóncava hacía abajo entonces parece ser que se va a ver algo así aquí tenemos cóncavo hacia arriba con forma de y déjame mejor pintarlo de otra forma creo que el color amarillo no era el mejor que podíamos poner déjame ponerle escala aquí 123 aquí voy a poner el punto 3 4.7 y aquí el menos tres 4.7 algo así entonces ya sabemos que en cero tenemos una pendiente igual a cero verdad y sabemos que va cóncavo hacia arriba ahora cuando llegamos a este punto a x igual a 3 tenemos que cambiar la concavidad se vuelve cóncavo hacia abajo es decir se vuelve una volteada hacia abajo a ver lo voy a poner un poco más como de este estilo para que se vea un poco más cóncavo hacia abajo y de modo similar alrededor de cero es cóncavo arriba hasta que llegamos a x igual a menos tres moviéndonos a la izquierda y en x igual a menos 3 cambia la concavidad voy a hacerlo con este color el color rosa mexicano vale entonces este cóncavo hacia abajo lo voy a pintar con el color rojo para seguir consistentes con los colores entonces lo pongo de este color va entonces ahí está esto de aquí cóncavo hacia arriba es en este intervalo de por acá este cóncavo hacia arriba es el de por acá de verdad vale entonces esto de aquí es más o menos lo que yo creo que es la gráfica de la función claro todavía podríamos ver qué pasa hacia infinito y menos infinito pero dejémoslo aquí en vez de esto mejor vamos a comparar nuestro dibujo con el de la compu vamos a sacar la calculadora gráfica a ver cómo se comparan los dos me traigo para acá el emulador me voy a aprender y me voy a ir a graficar aquí tengo que ponerle ye igual a logaritmo natural de x a la cuarta más 27 entonces ya le voy a aplicar graficar y ahí está haciendo el dibujito crucemos los dedos ay qué bien el dibujo de la cal cv y el nuestro se parecen muchísimo al parecer las matemáticas que hicimos las dijimos bien que emocionante vale espero que tras este vídeo aprecies un poco más los puntos de inflexión los puntos críticos y las derivadas y como éstas ayudan para graficar una función nos vemos hasta la próxima