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Contenido principal

Conectar f, f' y f'' gráficamente

Analizar tres gráficas para ver cuál de ellas describe la derivada de la otra.

Transcripción del video

tengo las gráficas de tres funciones por aquí y nos dicen que una de ellas representa la función f otra su primera derivada y la última su segunda derivada y no sabemos cuál es cuál así que como siempre pausa este vídeo e intenta encontrar la relación bueno es momento de trabajarlo juntos y la forma en la que voy a abordar este ejercicio será intentar dibujar cómo se ve la derivada de cada una de estas gráficas así que en esta gráfica de color anaranjado puedo decir que la pendiente es muy positiva en un principio y después se hace menos y menos y menos positiva hasta este punto donde la pendiente va a ser igual a cero y después se hace más y más y más negativa así que la derivada de la función que está representada por esta curva se va a ver así va a empezar muy positiva en este punto y la pendiente va a ser cero justo aquí así que aquí tenemos que cruzar el eje x y después va a ser más y más y más negativa hasta dejar el intervalo que podemos ver de modo que se va a ver más o menos así no sé si en efecto sea una recta o algo parecido pero va a ser un tipo de curva que tenga una tendencia con esta forma por lo que en definitiva podemos decir que esta gráfica de azul no es la derivada de la función de color a naranja observa que en este intervalo la tendencia es justo lo contrario va de negativo a positivo cuando debería de ser de positivo a negativo así que podemos descartarla como su derivada y qué pasa con esta gráfica magenta bueno en este pedazo parece que tiene la tendencia correcta ínter seca al eje x en ese sitio que parece ser el mismo de la gráfica original y al menos para este intervalo parece que es positiva de aquí aquí cuando ocurre lo mismo con la pendiente de la recta tangente de la primera gráfica y es negativa cuando la pendiente de la recta tangente de la primera gráfica lo es también ahora algo que me causa malestar sobre el razonamiento de que la última gráfica sea la derivada de la primera es que no hemos usado la idea de que la derivada tiene más puntos extremos es decir más máximos o mínimos que la función original pero en este caso podría ser que no los vemos porque tal vez no vemos la primera función completa por ejemplo si esta tercera gráfica fuera en efecto la derivada de la primera entonces tendríamos que después de este punto la pendiente cambiaría a ser menos negativa entonces la primera función tendría una gráfica cuya pendiente de la recta tangente después de este punto sería cada vez menos negativa hasta que en este punto la pendiente sería cero y por lo tanto podemos decir que nuestra gráfica se tendría que ver más o menos así lo cual no vemos porque tal vez sólo nos muestran un pedazo de la gráfica no la muestran completa por lo tanto podemos decir que esta tercera gráfica es una buena candidata para hacer la derivada de la primera así que tal vez podríamos decir que esta es efe y que ésta es f prima ahora veamos qué es lo que pasa con la segunda como se ve su derivada bueno pues empezamos con una pendiente muy negativa que cada vez se hace menos negativa hasta llegar a este punto donde cero por lo tanto nuestra derivada debería interceptar al eje x justo aquí empezaría siendo negativa y cada vez sería menos negativa hasta llegar a este punto y después de este punto cruzamos al eje x hasta tener una pendiente más y más positiva hasta que por aquí deja de ser cada vez más positiva y empieza a tener una pendiente cada vez menos positiva hasta que por aquí deja de ser cada vez más positiva y empieza a tener una pendiente cada vez menos positiva así que la derivada se vería más o menos así hasta que aquí se vea cada vez menos positiva menos positiva menos positiva hasta que kim la pendiente sea cero de nuevo por lo tanto nuestra derivada intersec a al eje x justo allí y después la pendiente de la recta tangente toma valores más y más y más negativos y por lo tanto la derivada es más y más negativa por lo cual la gráfica que acabo de esbozar es muy parecida a la gráfica que tenemos en primer lugar por lo tanto la gráfica anaranjada me parece en efecto la derivada de la gráfica de azul puedo decir que de hecho esta va a ser entonces mi gráfica efe la gráfica de anaranjado va a ser f prima y si estás efe prima la derivada de ella sería f mi prima así que parece que ya estamos bien pero para estar más seguros podemos hacer lo mismo para esta tercera gráfica esbocemos su derivada la pendiente de mi recta tangente observa es positiva pero cada vez menos hasta llegar a cero justo aquí por lo que la derivada se vería más o menos así y después la pendiente de mi recta tangente es menos y menos y menos negativa hasta llegar a este punto así que la derivada es más negativa y en este punto la pendiente de la recta tangente es cada vez menos negativa de tal manera que llegamos a este punto donde de nuevo tomamos el valor de cero y después la pendiente es cada vez más así que la derivada de esta curva magenta se debería de ver más o menos así como una que abre hacia arriba y observa no vemos esto aquí así que podemos sentirnos bien de que la derivada no aparezca con esto podemos ya estar seguros de nuestra conclusión la gráfica de enmedio la llamaremos efe la primera gráfica será f prima y la tercera gráfica será fbi prima hasta la próxima