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Contenido principal

Ejemplo. Conectar f, f' y f'' gráficamente

Analizar tres gráficas para ver cuál de ellas describe la derivada de la otra.

Transcripción del video

tengo las gráficas de tres funciones por aquí y nos dicen que una de ellas representa la función f otra su primera derivada y la última su segunda derivada y no sabemos cuál es cuál así que como siempre pausa este vídeo e intenta encontrar la relación bueno la forma en la que voy a intentar resolverlo es ver las gráficas y pensar en cómo se tendría que ver la derivada en esta primera gráfica la pendiente de la recta tangente es un poquito negativa y después se hace más y más y más y más negativa y cuando nos aproximamos a estas en total vertical parece que nos estamos aproximando a menos infinito así que la derivada por aquí es un poco menos que cero después es cada vez más más y más negativa y después tiende a menos infinito así que tiene la misma forma al menos igual a la parte izquierda de la gráfica que tenemos hasta antes de la sin tota y ahora qué pasa a la derecha del asiento está bueno a la derecha de la 5ta parece que empezamos con una pendiente muy negativa observan pero después pasa a ser menos negativa y después menos negativa y menos y menos y menos negativa y parece que se aproxima a cero así que la derivada de este lado debe de empezar y después la derivada debe de ser asiento trasero algo así por lo tanto con base en lo que acabamos de decir parece que un buen candidato para la derivada de la función representada en la primera gráfica es esta tercera gráfica y bueno tal vez lo primero que piensas es qué tiene de malo la segunda gráfica para descartarla como la derivada de la primera y la razón es que la gráfica de azul justo al principio es positiva así que si ésta fuera la derivada de la primera gráfica significaría que la gráfica de la izquierda debería de tener una pendiente positiva en esta parte lo cual no es cierto tenemos una pendiente ligeramente negativa que pasa a ser una pendiente muy negativa como lo tenemos representado en la tercera gráfica y después una pendiente muy negativa que después se vuelve a cinto está 0 así que puedo decir que tal vez esta sea nuestra función efe y por lo tanto está de acá sería nuestra función f prima y ahora pensemos qué pasa con esta gráfica del medio que hace su derivada por aquí mi pendiente es ligera negativa y después empezamos a tener una pendiente un poco más negativa y más y más y más negativa así que la derivada de esta función se tendría que ver primero como una pendiente ligeramente negativa y después más y más y más negativa mientras nos aproximamos a esta cinta vertical y ahora en el lado derecho de esta cinta vertical observa tenemos una pendiente muy positiva por aquí y después tenemos una pendiente menos y menos y menos positiva así que la derivada se tendrá que ver primero muy positiva y después tendría que tomar un valor a menos y menos y menos positivo de hecho parece que la pendiente de mi recta tangente es asunto está cero entonces mi gráfica se vería más o menos así por lo tanto mi gráfica de la izquierda me parece un muy buen candidato para la derivada de mi gráfica de azul así que ya está diré que ésta es nuestra efe y esta gráfica del principio va a ser la derivada de f entonces serán f prima y como ya establecimos tercera gráfica es la derivada de la primera entonces la derivada de la primera nuestra prima es fbi prima y me siento bastante bien con este resultado sólo para tener más claro esto podemos ver cómo se ve la gráfica de esta función derivada de mi tercera gráfica ok primero tenemos la pendiente que es negativa y después es más y más y más negativa así que la derivada tendrá la misma forma por aquí y después por aquí mi pendiente sería positiva y después sería menos y menos y menos positiva así que empezó muy positiva y después se hace cada vez menos positiva ahora la forma se parece mucho a esta primera gráfica pero la razón del por qué no voy a elegir a la primera gráfica como la derivada de la tercera es porque esta tercera gráfica es la única que es una buena candidata para hacer la derivada de la primera así que me siento bastante convencido de que hicimos la elección correcta la gráfica de azul es efe la de anaranjado es f prima y la de magenta es fbi prima nos vemos en el siguiente