If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si estás detrás de un filtro de páginas web, por favor asegúrate de que los dominios *.kastatic.org y *.kasandbox.org estén desbloqueados.

Contenido principal

Justificación mediante la primera derivada

Podemos explicar por qué una función es creciente, decreciente o tiene un máximo relativo usando información de su primera derivada. A esta se le llama "justificación con base en cálculo".

¿Quieres unirte a la conversación?

  • Avatar aqualine ultimate style para el usuario Sergio P
    No entiendo el último ejemplo, pide justificar que g(x) disminuye cuando x=-3.
    La respuesta "correcta" dice que ese es el punto de intersección de g'(x) con la abscisa al origen. Eso quiere decir que ese es el punto donde la pendiente de g(x) es = 0, entonces ni disminuye, ni aumenta.
    Como yo lo veo es que lo que iba a ser la justificación de un comportamiento terminó siendo el argumento que lo descarta.
    Si no es así, ¿de dónde se obtiene que se prefiere aproximarse a x por izquierda?
    (1 voto)
    Avatar Default Khan Academy avatar para el usuario
¿Sabes inglés? Haz clic aquí para ver más discusiones en el sitio en inglés de Khan Academy.

Transcripción del video

a continuación se muestran las gráficas de la función diferenciable efe y su derivada f prima vemos la gráfica de fx en color azul y f prima de x está en color anaranjado cuál es la justificación correcta con base en el cálculo del hecho de que f decrece cuándo x es mayor a 3 podemos ver que este es el caso cuando x es mayor a 3 vemos que nuestra función decrece con respecto a la justificación con base en el cálculo sin tener que ver las opciones podemos ver la derivada y va a decrecer si la pendiente de la recta tangente es negativa lo que significa que la derivada también es negativa y podemos ver que para x mayores a 3 la derivada es menor a 0 ahora veamos las opciones f prima de crece cuando x es mayor a 3 esto no es correcto nos interesa saber si f prima es positiva o negativa si f prima es negativa menor a 0 entonces la función es la que decrece la pendiente de la recta tangente será negativa efe prima podría ser positiva aún mientras disminuye por ejemplo f prima podría hacer esto aún cuando f prima disminuye en este ejemplo el valor de la derivada es positivo lo que en este escenario significa que la función se incrementa por lo que descartamos esta opción para valores de x mayores a 3 conforme aumentan los valores de x disminuyen los valores de fx esto es verdadero esta es la definición de que f disminuye pero no es una justificación con base en el cálculo por lo que también descartamos esta opción f prima es negativa cuando x es mayor a 3 esto es exactamente lo que escribí aquí arriba si f prima es negativa entonces significa que la pendiente de la recta tangente de nuestra función original efe irá hacia abajo por lo que nuestra función va a disminuir esta opción se ve bien la última opción dice que f prima de 0 es igual a menos 3 en este punto de aquí y esto no tiene nada que ver con el intervalo que nos interesa esta opción también descartamos hagamos otro ejemplo la siguiente gráfica muestra la función g y su derivada y prima que está en color azul y su derivada está en color anaranjado cuál es la justificación correcta con base en el cálculo del hecho de que g disminuye cuando x es igual a menos 3 en la gráfica vemos que cuando x es igual a menos 3 parece que g es igual a menos 6 y esto luce como un punto mínimo relativo cuál es la mejor justificación nuevamente sin ver las opciones yo digo que una buena justificación es que antes de llegar a x igual a menos 3 nuestra derivada que hace de esto una justificación con base en el cálculo es negativa y después de que x es igual a menos 3 la derivada es positiva esta sería mi justificación porque si la derivada es negativa antes de ese valor significa que la pendiente va hacia abajo antes de ese valor y si es positiva después de ese valor tendremos una pendiente hacia arriba después de ese valor lo cual es una buena justificación de que estamos en un punto mínimo relativo justo aquí veamos el punto donde x es igual a menos 3 es el punto menor en la gráfica de g en el intervalo que lo rodea esto es verdadero pero no es una justificación con base en el cálculo ni siquiera tenemos que ver la derivada para hacer este enunciado así que esta opción no es correcta que prima tiene un máximo relativo en 0 3 y en la gráfica vemos que se prima si tiene un máximo relativo en 0.3 pero esto no nos dice nada sobre un mínimo relativo en x igual a menos 3 por lo que tampoco es la opción correcta que prima de menos 3 es igual a cero esto nos dice que la pendiente de la recta tangente de nuestra función es 0 en este punto pero esto por sí solo no es suficiente para afirmar que tenemos un mínimo relativo aquí por ejemplo puedo tener una función que haga esto su pendiente llegue a 0 ideas vuelva a aumentar o haga algo así y después siga decreciendo así que aunque tengamos un punto donde la pendiente de la recta tangente sea igual a cero no significa que tengamos un mínimo relativo en ese punto descartamos esta opción que prima cruza el eje x de abajo hacia arriba de este en x igual a menos 3 en la gráfica vemos que esto es correcto y coincide justamente con el argumento que hice al principio vamos por debajo del eje x ig prima pasa de negativa a positiva lo que significa que la pendiente de las rectas tangentes de los puntos conforme nos acercamos a x igual a menos 3 pasan de tener una pendiente hacia abajo a tener una pendiente hacia arriba que es un indicador de que estamos en un mínimo relativo esta es la opción correcta y con esto terminamos