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Contenido principal

Repaso sobre intervalos donde una función crece o decrece

Revisa cómo usamos el cálculo diferencial para encontrar los intervalos donde una función crece o decrece.

¿Cómo encuentro los intervalos donde una función crece o decrece con cálculo diferencial?

Los intervalos en los que una función está aumentando (o disminuyendo) corresponden a los intervalos donde su derivada es positiva (o negativa).
Así que si queremos encontrar los intervalos donde una función aumenta o disminuye, sacamos su derivada y la analizamos para encontrar dónde es positiva o negativa (¡lo cual es más fácil de hacer!).
¿Quieres aprender más sobre el cálculo diferencial y los intervalos donde crece o decrece una función? Revisa este video.

Ejemplo 1

Encontremos los intervalos donde f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 3, x, squared, minus, 9, x, plus, 7 crece o decrece. Primero, derivamos f:
f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, squared, plus, 6, x, minus, 9
Ahora queremos encontrar los intervalos donde f, prime es positiva o negativa.
f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis
f, prime interseca el eje x cuando x, equals, minus, 3 y x, equals, 1, así que su signo debe ser constante en cada uno de los siguientes intervalos:
Evaluemos f, prime en cada intervalo para ver si es positiva o negativa ahí.
IntervaloValor de xf, prime, left parenthesis, x, right parenthesisVeredicto
x, is less than, minus, 3x, equals, minus, 4f, prime, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis, equals, 15, is greater than, 0f es creciente. \nearrow
minus, 3, is less than, x, is less than, 1x, equals, 0f, prime, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, minus, 9, is less than, 0f es decreciente. \searrow
x, is greater than, 1x, equals, 2f, prime, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 15, is greater than, 0f es creciente. \nearrow
Así que f es creciente cuando x, is less than, minus, 3 o cuando x, is greater than, 1 y decreciente cuando minus, 3, is less than, x, is less than, 1.

Ejemplo 2

Encontremos los intervalos donde f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, start superscript, 6, end superscript, minus, 3, x, start superscript, 5, end superscript crece o decrece. Primero, derivamos f:
f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 6, x, start superscript, 5, end superscript, minus, 15, x, start superscript, 4, end superscript
Ahora queremos encontrar los intervalos donde f, prime es positiva o negativa.
f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, start superscript, 4, end superscript, left parenthesis, 2, x, minus, 5, right parenthesis
f, prime interseca el eje x cuando x, equals, 0 y x, equals, start fraction, 5, divided by, 2, end fraction, así que su signo debe ser constante en cada uno de los siguientes intervalos:
Evaluemos f, prime en cada intervalo para ver si es positiva o negativa ahí.
IntervaloValor de xf, prime, left parenthesis, x, right parenthesisVeredicto
x, is less than, 0x, equals, minus, 1f, prime, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, minus, 21, is less than, 0f es decreciente \searrow
0, is less than, x, is less than, start fraction, 5, divided by, 2, end fractionx, equals, 1f, prime, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, minus, 9, is less than, 0f es decreciente \searrow
start fraction, 5, divided by, 2, end fraction, is less than, xx, equals, 3f, prime, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 243, is greater than, 0f es creciente \nearrow
Como f disminuye antes de x, equals, 0 y después de x, equals, 0, también disminuye en x, equals, 0.
Por lo tanto, f es decreciente cuando x, is less than, start fraction, 5, divided by, 2, end fraction y creciente cuando x, is greater than, start fraction, 5, divided by, 2, end fraction.

Comprueba tu comprensión

Problema 1
h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, x, cubed, plus, 3, x, squared, plus, 9
¿En qué intervalos h es decreciente?
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  • Avatar aqualine tree style para el usuario David de la Cruz
    la pregunta pide creciente y la respuesta es decreciente :(
    (13 votos)
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  • Avatar blobby green style para el usuario Pox Skywalker
    Disculpen la segunda pregunta está mal, pide el intervalo en el que la función es creciente y la respuesta es una función decreciente
    (7 votos)
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  • Avatar piceratops ultimate style para el usuario Víctor André Rodríguez
    La segunda pregunta está mal formulada.
    (6 votos)
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