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Analizar la segunda derivada para encontrar puntos de inflexión

Aprende cómo la segunda derivada de una función se utiliza para encontrar sus puntos de inflexión. Aprende cuáles son los errores comunes a evitar en el proceso.
Podemos encontrar los puntos de inflexión de una función al estudiar su segunda derivada.

Ejemplo: encontrar los puntos de inflexión de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, start superscript, 5, end superscript, plus, start fraction, 5, divided by, 3, end fraction, x, start superscript, 4, end superscript

Paso 1: encontrar la segunda derivada
Para encontrar los puntos de inflexión de f, tenemos que utilizar f, start superscript, prime, prime, end superscript:
f(x)=5x4+203x3f(x)=20x3+20x2=20x2(x+1)\begin{aligned} f'(x)&=5x^4+\dfrac{20}{3}x^3 \\\\ f''(x)&=20x^3+20x^2 \\\\ &=20x^2(x+1) \end{aligned}
Paso 2: encontrar todos los candidatos
Como con los puntos críticos, estos son puntos donde f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 o f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis está indefinida.
f, start superscript, prime, prime, end superscript es cero en x, equals, 0 y x, equals, minus, 1, y está definida para todos los números reales. Así que x, equals, 0 y x, equals, minus, 1 son nuestros candidatos.
Paso 3: analizar la concavidad
IntervaloValor x de pruebaf, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesisConclusión
x, is less than, minus, 1x, equals, minus, 2f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals, minus, 80, is less than, 0f es cóncava hacia abajo \cap
minus, 1, is less than, x, is less than, 0x, equals, minus, 0, point, 5f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, minus, 0, point, 5, right parenthesis, equals, 2, point, 5, is greater than, 0f es cóncava hacia arriba \cup
x, is greater than, 0x, equals, 1f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, 40, is greater than, 0f es cóncava hacia arriba \cup
Paso 4: encontrar puntos de inflexión
Ahora que conocemos los intervalos donde f es cóncava hacia arriba o hacia abajo, podemos encontrar sus puntos de inflexión (es decir, donde la concavidad cambia de dirección).
  • f es cóncava hacia abajo antes de x, equals, minus, 1, cóncava hacia arriba después de ese punto y está definida en x, equals, minus, 1. Así que f tiene un punto de inflexión en x, equals, minus, 1.
  • f es cóncava hacia arriba antes y después de x, equals, 0, así que no hay un punto de inflexión.
Podemos comprobar nuestro resultado al observar la gráfica de f.
Se grafica la función f . El eje x va de menos 4 a 4. La gráfica consiste en una curva. La curva empieza en el cuadrante 3, se mueve hacia arriba con inclinación decreciente hasta aproximadamente (menos 1.3, 1), se mueve hacia abajo con inclinación creciente hasta aproximadamente (menos 1, 0.7), continúa hacia abajo con inclinación decreciente hasta el origen, se mueve hacia arriba con inclinación creciente y termina en el cuadrante 1. El punto en (menos 1, 0.7), donde la gráfica cambia de moverse hacia abajo con inclinación creciente a moverse hacia abajo con inclinación decreciente es el punto de inflexión. La parte de la curva a la izquierda de este punto es cóncava hacia abajo, donde la curva se mueve hacia arriba con inclinación decreciente y luego hacia abajo con inclinación creciente. La parte de la curva a la derecha del punto de inflexión es cóncava hacia arriba, donde la curva se mueve hacia abajo con inclinación decreciente y luego hacia arriba con inclinación creciente.
Problema 1
A Olga se le pidió que encontrara dónde la función f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, start superscript, 4, end superscript tiene puntos de inflexión. Esta es su solución:
Paso 1:
f(x)=4(x2)3f(x)=12(x2)2\begin{aligned} f'(x)&=4(x-2)^3 \\\\\\ f''(x)&=12(x-2)^2 \end{aligned}
Paso 2: la solución de f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 es x, equals, 2.
Paso 3: f tiene un punto de inflexión en x, equals, 2.
¿Es correcto el trabajo de Olga? Si no es así, ¿cuál es su error?
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Error común: no revisar los candidatos

Recuerda: no debemos suponer que cualquier punto donde f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 (o donde f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis está indefinida) es un punto de inflexión. Más bien, debemos revisar nuestros candidatos para ver si la segunda derivada cambia de signo en esos puntos y si la función está definida ahí.
Problema 2
A Robert se le pidió que encontrara donde g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cube root of, x, end cube root tiene puntos de inflexión. Esta es su solución:
Paso 1:
g(x)=13x23g(x)=29x53=29x53\begin{aligned} g'(x)&=\dfrac13x^{-\frac23} \\\\\\ g''(x)&=-\dfrac29x^{-\frac53} \\\\ &=-\dfrac{2}{9\sqrt[3]{x^5}} \end{aligned}
Paso 2: g, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 no tiene solución.
Paso 3: g no tiene ningún punto de inflexión.
¿Es correcto el trabajo de Robert? Si no es así, ¿cuál es su error?
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Error común: no incluir los puntos donde la derivada está indefinida

Recuerda: nuestros candidatos a puntos de inflexión son puntos donde la segunda derivada es igual a cero y los puntos donde la segunda derivada está indefinida. Ignorar los puntos donde la segunda derivada está indefinida a menudo resultará en una respuesta incorrecta.
Problema 3
A Tom se le pidió que encontrara dónde la función h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, plus, 4, x tiene puntos de inflexión. Esta es su solución:
Paso 1: h, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, plus, 4.
Paso 2: h, prime, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals, 0, así que x, equals, minus, 2 es un posible punto de inflexión.
Paso 3:
IntervaloValor x de pruebah, prime, left parenthesis, x, right parenthesisVeredicto
left parenthesis, minus, infinity, comma, minus, 2, right parenthesisx, equals, minus, 3h, prime, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, minus, 2, is less than, 0h es cóncava hacia abajo \cap
left parenthesis, minus, 2, comma, infinity, right parenthesisx, equals, 0h, prime, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, 4, is greater than, 0h es cóncava hacia arriba \cup
Paso 4: h es cóncava hacia abajo antes de x, equals, minus, 2 y cóncava hacia arriba después de x, equals, minus, 2, por lo que h tiene un punto de inflexión en x, equals, minus, 2.
¿Es correcto el trabajo de Tom? Si no es así, ¿cuál es su error?
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Error común: fijarse en la primera derivada en lugar de en la segunda

Recuerda: en la búsqueda de puntos de inflexión, siempre debemos analizar dónde es que la segunda derivada cambia de signo. Hacer esto para la primera derivada nos dará puntos de extremos relativos, no puntos de inflexión.
Problema 4
Sea g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 12, x, cubed, minus, 42, x, squared, plus, 7.
¿Para cuáles valores de x la gráfica de g tiene un punto de inflexión?
Elige todas las respuestas adecuadas:
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