Analizar la concavidad (algebraicamente)

tengo por acá a esta función que que está expresada como un polinomio de cuarto grado y lo que quiero hacer en este vídeo es pensar acerca de los intervalos sobre los cuales g es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo ahora recordemos un poco a qué me refiero con eso cuando tenemos una concavidad hacia arriba es más déjame escribirlo cuando tenemos una concavidad hacia arriba bueno en ese intervalo la pendiente va a estar incrementando y tiende a verse como como una abierta lo puedes ver aquí y observamos que la pendiente justo aquí es negativa y luego conforme x aumenta se vuelve menos negativa se aproxima a 0 se vuelve 0 pasa el 0 y se vuelve ligeramente positiva más positiva y aún más positiva así que pueden ver que la pendiente en este caso está creciendo constantemente y piensas en términos de derivadas quiere decir que la primera derivada está creciendo sobre ese intervalo y para que su primera derivada esté creciendo sobre ese intervalo eso quiere decir que la segunda derivada tiene que ser mayor que cero es decir en una concavidad hacia arriba la primera derivada crece lo que significa que la segunda derivada tiene que ser mayor que cero y ahora qué pasa con una concavidad hacia abajo bueno pasa justo lo contrario así que vamos a escribirlo tenemos ahora el caso de una concavidad hacia abajo y entonces cómo se vería bueno pues se va a ver más o menos así y en este caso qué pasa podemos decir que g prima de x ha de crecer ha de crecer lo que significa que la segunda derivada de esta función que va a ser menor que cero y entonces esto se vería más o menos así tú tienes esta función tienes una pendiente que es positiva se va volviendo cada vez menos positiva menos positiva se vuelve 0 y después empieza a convertirse en negativa más negativa y más negativa como puedes ver nuestra pendiente de crece constantemente mientras x que es así que para pensar en los intervalos en donde está es cóncava hacia arriba o hacia abajo lo que tenemos que hacer es encontrar la segunda derivada de g y luego vamos a pensar acerca de los puntos donde la segunda derivada puede ir de ser positiva a negativa o de negativa a positiva y esos serán los lugares en donde bueno o va a ser indefinida o donde la segunda derivada sea igual a 0 y después vamos a ver qué pasa en los intervalos en medio de esos puntos para así saber sobre qué intervalos la función será hacia abajo o cóncava se arrima así que manos a la obra vamos a hacerlo y para eso lo primero que voy a hacer es sacar la primera derivada de esta función de x y se observa que es simplemente aplicar la regla de las potencias varias veces así que aquí tengo x elevado a la cuarta y si aplicamos las realidades potencias para la derivada me va a quedar que esto es menos 4 x a la 4 - 1 lo cual es 3 y después aquí tengo 6 x cuadrada aplicando la regla de las potencias este 2 va a multiplicar este 6 y me quedaría 2x elevado la potencia 2 - 1 lo cual es 1 entonces lo voy a dejar decir 2x y después tengo aquí menos 2 o bueno menos 2 x a la 0 lo cual es simplemente menos 2 y la derivada de menos 3 la derivada de una constante 0 así que no hay que ponerla y ahora vamos a sacar también la segunda derivada y prima de x y para sacar la segunda derivada observa que también vamos a aplicar la ley de las potencias menos 4x cúbica si lo derivó me va a quedar menos 12 x cuadrada menos 12 x cuadrada y después tengo la derivada de 12 x lo cual es simplemente 12 y la derivada de menos 2 se va es 0 ok ahora observa esta función donde podría estar indefinida bueno la segunda derivada es sólo una expresión cuadrática la cual está definida para cualquier x así que no va a ser indefinida en ningún lado ahora entonces los puntos interesantes donde podríamos pasar por una segunda derivada negativa a una positiva o de una positiva a una negativa son donde esto de aquí sea igual a cero así que vamos a encontrar eso vamos a encontrar donde menos 2 x cuadrada más 12 esto sea igual a 0 y para eso bueno qué te parece si restamos 12 de ambos lados y me quedarían menos 12 x cuadrada esto es igual a menos 12 y ahora qué te parece divido todo entre menos 12 y me va a quedar que x cuadrada es igual a 1 o de otra manera x es igual a más menos la raíz cuadrada de 1 lo cual es 1 entonces la segunda derivada de más menos 1 es igual a cero así que en cualquier lado entre más uno o menos uno podríamos tener una concavidad hacia arriba o una concavidad hacia abajo y vamos a pensar en eso y para ello voy a hacer por acá una recta numérica ok déjame poner que esta es una recta numérica por aquí tengo no se deja meterme por acá el valor de cero y bueno si este es el valor de 0 por acá me voy a tomar el valor de 1 y por acá voy a tener el valor de 2 muy por acá voy a tener el valor de menos 1 y por acá voy a tener el valor de menos 2 de lujo y lo que nosotros sabemos es que en x igual a menos 1 y en x igual a 1 mi segunda derivada vale 0 así que vamos a pensar qué pasaría en los tres intervalos que nos quedan a continuación vamos a ver si en este primer intervalo nuestra segunda derivada es positiva o negativa y así seremos capaces de decir si es cóncava se arriba o cóncava hacia abajo en ese intervalo así que primero fijémonos en este intervalo que tengo aquí es decir me estoy explicando en el intervalo que va de menos infinito hasta menos 1 si probamos un valor para saber si la segunda derivada es positiva o negativa entonces un valor fácil de probar sería en menos 2 vamos a ver qué pasa con la segunda derivada en el valor de menos 2 bueno pues que me quedaría si evaluamos menos 2 en esta segunda derivada voy a tener menos 12 x bueno aquí tendría 4 menos 12 por 4 lo cual es menos 48 más 12 bueno eso es menos 36 y lo importante aquí no es el valor que obtengo sino que en todo este intervalo la segunda derivada es negativa ya que no estamos pasando el 0 ni es discontinua esta función en ninguno de estos puntos y es por eso que escogimos justo este intervalo entonces durante todo este intervalo la segunda derivada es negativa lo que quiere decir que tenemos una concavidad hacia abajo déjame escribirlo muy bien ahora fijémonos qué es lo que pasa en el siguiente intervalo y ahora me voy a fijar en este intervalo que tengo aquí el que va de menos 1 hasta 1 en todo este intervalo que tengo aquí déjenme escribirlo va de menos 1 hasta 1 y de igual manera vamos a probar un valor para evaluar la segunda derivada y el valor más sencillo que se me ocurre es cero así que voy a ver cuánto vale la segunda derivada en el valor de cero bueno pues vamos a sustituir cero en esta función y eso es muy sencillo esto se elimina y me queda simplemente 12 y recuerda lo importante no es el valor que obtengamos sino el signo de la segunda derivada en este caso mi segunda derivada va a ser mayor que cero pero para todo este intervalo recuerda y eso quiere decir que tenemos una concavidad hacia arriba déjame escribirlo muy bien y finalmente vamos a ver el intervalo donde tenemos los valores más grandes que uno me voy a fijar en todo este intervalo que tengo aquí todo este intervalo que tengo aquí que se observa es el intervalo que va de uno hasta infinito bueno vamos a probar de igual manera con un valor para ver qué es lo que pasa con la segunda derivada y el valor más fácil que se me ocurre es tomarme dos así que cuánto vale la segunda derivada en dos bueno pues si observas aquí me va a quedar lo mismo que lo que tenía en menos dos porque menos dos al cuadrado lo mismo que dos al cuadrado esos cuatro entonces me quedarían menos 48 más 12 lo cual es 36 negativos menos 36 ok lo que me dice que en todo este intervalo la segunda derivada ok va a ser menor que cero y bueno de nuevo no está diciendo que tenemos una concavidad hacia abajo bien ahora qué te parece si vamos a ver la gráfica de esta función que tengo aquí y vemos si realmente a lo que llegamos es congruente con lo que se ve en la gráfica así que para eso déjenme mover un poco la pantalla para que veas por aquí lo que está pasando con la gráfica que voy a traer a continuación quiero que te des cuenta que hasta aquí hemos sido capaz de llegar con estas ideas de concavidad sin graficar pero ahora déjenme traer por acá la gráfica la tengo justo por aquí y vamos a echarle un vistazo a esta gráfica y si te das cuenta logramos hacer que los intervalos coincidieran aquí tengo al menos uno aquí tengo al menos uno que por cierto sabemos que es un punto en donde la segunda derivada es igual a cero y también en x igual a 1 así que si observas aquí tenemos x igual a 1 y ahí es un punto donde también mi segunda derivada es igual a 0 y ahora lo que estoy diciendo es que en este intervalo de aquí de menos infinito a 1 déjame ponerlo con su respectivo color en todo este intervalo que tengo aquí tengo una concavidad hacia abajo en todo este intervalo que tengo aquí la pendiente de la recta tangente está constantemente decreciendo eso quiere decir que mi segunda derivada es menor que cero y se observa se ve correcto ya que la pendiente está decreciendo hasta llegar a este valor de 1 donde la segunda derivada es igual a 0 y después en el siguiente intervalo la pendiente empieza a crecer crece crece crece crece sigue creciendo hasta llegar al valor de 0 y después empecé a volver positiva positiva positiva hasta llegar a este punto que tengo aquí en donde x es igual a 1 y a partir de ese punto la pendiente ahora empieza a decrecer es positiva se pasa a ser 0 y después se convierte en negativa negativa negativa hasta infinito así que ya está tenemos aquí una concavidad hacia abajo aquí una concavidad hacia arriba y aquí una concavidad hacia abajo así que pudimos encontrar la concavidad con solo sacar las derivadas y haciendo un poco de álgebra ahora ya podemos verlo claramente en esta gráfica