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Analizar la concavidad (gráficamente)

En este video resolvemos un ejercicio donde se nos pide que reconozcamos la concavidad de una función en ciertas regiones. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

una función f x esta gráfica de abajo resalta un intervalo donde la primera derivada de f de x sea menor que cero y donde la segunda derivada de fx sea menor que cero también que la primera derivada de fx sea menor que cero me dice que la función tiene que ser decreciente ahora en esta gráfica tenemos un máximo aquí y un mínimo acá y la función solo es decreciente entre esos dos puntos entre este máximo y este mínimo de por acá tengo que seleccionar un intervalo por ahí por otro lado que la segunda derivada de fx sea negativa quiere decir que la pendiente está decreciendo la pendiente de la línea tangente así que por ejemplo aquí tengo el máximo en donde la pendiente vale cero y aquí la pendiente es negativa y cada vez se está haciendo más negativa hasta que llega un punto donde la pendiente comienza a crecer para regresar a cero en este punto entonces bien otra cosa que podríamos observar es que esta condición que la segunda derivada de f en el punto x sea menor que 0 nos dice que la función tiene que ser cóncava hacia abajo en ese punto y la función es precisamente cóncava hacia abajo en este segmento de aquí así que voy a seleccionar este intervalo y en efecto estamos en lo correcto muy bien hagamos otro una función fx de nuevo esta gráfica de abajo resalta un intervalo donde ahora la primera derivada va a ser positiva pero la segunda derivada va a ser negativa entonces que la primera derivada sea positiva quiere decir que la función es creciente así que estamos lidiando entre el límite izquierdo de la gráfica y este máximo por aquí y del mínimo que está por aquí a el lado derecho de la gráfica bien ahora que la segunda derivada sea negativa me dice que la función debe ser cóncava hacia abajo en ese punto noten que aquí la función no es cóncava hacia abajo en cualquiera de estos la función es cóncava hacia abajo y de hecho se puede verificar que en estos puntos la pendiente de la tangente se está haciendo más grande cada vez parece más una línea horizontal listo así que yo apostaría a que es un intervalo por aquí muy bien ojalá ustedes pueden hacer los demás ejercicios solos