Repaso de máximos y mínimos absolutos

Un punto máximo absoluto es un punto en el que la función adquiere su valor máximo posible. De forma similar, un punto mínimo absoluto es un punto en el que la función adquiere su valor mínimo posible.

Supongamos que ya sabes cómo encontrar máximos y mínimos locales, entonces encontrar puntos extremos involucra un paso más: considerar los extremos en ambas direcciones.

El teorema de los valores extremos nos dice que una función continua debe alcanzar sus valores máximo y mínimo absolutos en un intervalo cerrado. Estos valores extremos se obtienen en un punto extremo relativo de la función o en los puntos extremos absolutos del intervalo.

Encontremos, por ejemplo, los extremos absolutos de $h(x)=2x^3+3x^2-12x$h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, cubed, plus, 3, x, squared, minus, 12, x en el intervalo $-3\leq x\leq 3$minus, 3, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 3.

$h'(x)=6(x+2)(x-1)$h, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 6, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, así que nuestros puntos críticos son $x=-2$x, equals, minus, 2 y $x=1$x, equals, 1. Dividen el intervalo cerrado $-3\leq x\leq 3$minus, 3, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 3 en tres partes:

Ahora nos fijamos en los puntos críticos y en los extremos del intervalo:

En el intervalo cerrado $-3 \leq x \leq 3$minus, 3, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 3, los puntos $(-3,9)$left parenthesis, minus, 3, comma, 9, right parenthesis y $(1,-7)$left parenthesis, 1, comma, minus, 7, right parenthesis son mínimos locales, y los puntos $(-2,20)$left parenthesis, minus, 2, comma, 20, right parenthesis y $(3,45)$left parenthesis, 3, comma, 45, right parenthesis son máximos locales.

Observa que el valor mínimo absoluto se obtiene dentro del intervalo y el valor máximo absoluto se obtiene en un extremo.

No todas las funciones tienen un valor máximo absoluto o un valor mínimo absoluto en todo su dominio. Por ejemplo, la función lineal $f(x)=x$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x no tiene un máximo o un mínimo absolutos (puede alcanzar valores tan bajos o altos como queramos).

Sin embargo, algunas funciones tienen un extremo absoluto en todo su dominio. Analicemos, por ejemplo, la función $g(x)=xe^{3x}$g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, e, start superscript, 3, x, end superscript.

$g'(x)=e^{3x}(1+3x)$g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, e, start superscript, 3, x, end superscript, left parenthesis, 1, plus, 3, x, right parenthesis, por lo que nuestro único punto crítico es $x=-\dfrac{1}{3}$x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction.

Imaginemos que caminamos sobre la gráfica de $g$g. Comenzamos desde el extremo izquierdo (desde $-\infty$minus, infinity) y vamos hasta el extremo derecho (hasta $+\infty$plus, infinity).

Comenzaremos yendo hacia abajo y más abajo hasta que lleguemos a $x=-\dfrac{1}{3}$x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction. Luego, iremos siempre hacia arriba. Así que $g$g tiene un punto mínimo absoluto en $x=-\dfrac{1}{3}$x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction. La función no tiene un valor máximo absoluto.