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5° Semestre Bachillerato
Unidad 5: Lección 3
Valores extremos y optimización- El teorema de los valores extremos
- Introducción a los puntos críticos
- Encontrar puntos críticos
- Encuentra puntos críticos
- Introducción a puntos máximos y mínimos
- Encontrar extremos relativos (criterio de la primera derivada)
- Ejemplo resuelto: encontrar extremos relativos
- Ejemplo 1. Analizar errores cuando encontramos extremos
- Ejemplo 2. Analizar errores cuando encontramos extremos
- Encontrar extremos relativos (criterio de la primera derivada)
- Máximos y mínimos relativos
- Repaso sobre máximos y mínimos
- Encontrar extremos absolutos en un intervalo cerrado
- Máximos y mínimos absolutos (intervalos cerrados)
- Máximos y mínimos absolutos (dominio completo)
- Máximos y mínimos absolutos (dominio completo)
- Repaso de máximos y mínimos absolutos
- Criterio de la segunda derivada
- Criterio de la segunda derivada
- Optimización: suma de cuadrados
- Optimización: volumen de una caja (parte 1)
- Optimización: volumen de una caja (parte 2)
- Optimización: ganancia
- Optimización: costo de materiales
- Optimización: áreas de un triángulo y de un cuadrado (parte 1)
- Optimización: áreas de un triángulo y de un cuadrado (parte 2)
- Problema de optimización: recta normal extrema de y=x²
- Optimización
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Repaso de máximos y mínimos absolutos
Repasa cómo usamos cálculo diferencial para encontrar puntos extremos absolutos (máximos y mínimos).
¿Cómo encuentro puntos mínimos y máximos absolutos con cálculo diferencial?
Un punto máximo absoluto es un punto en el que la función adquiere su valor máximo posible. De forma similar, un punto mínimo absoluto es un punto en el que la función adquiere su valor mínimo posible.
Supongamos que ya sabes cómo encontrar máximos y mínimos locales, entonces encontrar puntos extremos involucra un paso más: considerar los extremos en ambas direcciones.
¿Quieres aprender más acerca de extremos absolutos y su relación con el cálculo diferencial? Revisa este video.
Encontrar extremos absolutos en un intervalo cerrado
El teorema de los valores extremos nos dice que una función continua debe alcanzar sus valores máximo y mínimo absolutos en un intervalo cerrado. Estos valores extremos se obtienen en un punto extremo relativo de la función o en los puntos extremos absolutos del intervalo.
Encontremos, por ejemplo, los extremos absolutos de h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, cubed, plus, 3, x, squared, minus, 12, x en el intervalo minus, 3, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 3.
h, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 6, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, así que nuestros puntos críticos son x, equals, minus, 2 y x, equals, 1. Dividen el intervalo cerrado minus, 3, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 3 en tres partes:
Intervalo | Valor de x | h, prime, left parenthesis, x, right parenthesis | Veredicto |
---|---|---|---|
minus, 3, is less than, x, is less than, minus, 2 | x, equals, minus, start fraction, 5, divided by, 2, end fraction | h, prime, left parenthesis, minus, start fraction, 5, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, equals, start fraction, 21, divided by, 2, end fraction, is greater than, 0 | h es creciente \nearrow |
minus, 2, is less than, x, is less than, 1 | x, equals, 0 | h, prime, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, minus, 12, is less than, 0 | h es decreciente \searrow |
1, is less than, x, is less than, 3 | x, equals, 2 | h, prime, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 24, is greater than, 0 | h es creciente \nearrow |
Ahora nos fijamos en los puntos críticos y en los extremos del intervalo:
x | h, left parenthesis, x, right parenthesis | Antes | Después | Veredicto |
---|---|---|---|---|
minus, 3 | 9 | minus | \nearrow | Mínimo |
minus, 2 | 20 | \nearrow | \searrow | Máximo |
1 | minus, 7 | \searrow | \nearrow | Mínimo |
3 | 45 | \nearrow | minus | Máximo |
En el intervalo cerrado minus, 3, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 3, los puntos left parenthesis, minus, 3, comma, 9, right parenthesis y left parenthesis, 1, comma, minus, 7, right parenthesis son mínimos locales, y los puntos left parenthesis, minus, 2, comma, 20, right parenthesis y left parenthesis, 3, comma, 45, right parenthesis son máximos locales.
left parenthesis, 1, comma, minus, 7, right parenthesis es el mínimo local más bajo, así que es el punto mínimo absoluto, y left parenthesis, 3, comma, 45, right parenthesis es el máximo local más grande, así que es el punto máximo absoluto.
Observa que el valor mínimo absoluto se obtiene dentro del intervalo y el valor máximo absoluto se obtiene en un extremo.
¿Quieres intentar más problemas como este? Revisa este ejercicio.
Encontrar extremos absolutos en todo el dominio
No todas las funciones tienen un valor máximo absoluto o un valor mínimo absoluto en todo su dominio. Por ejemplo, la función lineal f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x no tiene un máximo o un mínimo absolutos (puede alcanzar valores tan bajos o altos como queramos).
Sin embargo, algunas funciones tienen un extremo absoluto en todo su dominio. Analicemos, por ejemplo, la función g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, e, start superscript, 3, x, end superscript.
g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, e, start superscript, 3, x, end superscript, left parenthesis, 1, plus, 3, x, right parenthesis, por lo que nuestro único punto crítico es x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction.
Intervalo | Valor de x | g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis | Veredicto |
---|---|---|---|
left parenthesis, minus, infinity, comma, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, right parenthesis | x, equals, minus, 1 | g, prime, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, minus, start fraction, 2, divided by, e, cubed, end fraction, is less than, 0 | g es decreciente \searrow |
left parenthesis, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, comma, infinity, right parenthesis | x, equals, 0 | g, prime, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, 1, is greater than, 0 | g es creciente \nearrow |
Imaginemos que caminamos sobre la gráfica de g. Comenzamos desde el extremo izquierdo (desde minus, infinity) y vamos hasta el extremo derecho (hasta plus, infinity).
Comenzaremos yendo hacia abajo y más abajo hasta que lleguemos a x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction. Luego, iremos siempre hacia arriba. Así que g tiene un punto mínimo absoluto en x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction. La función no tiene un valor máximo absoluto.
¿Quieres aprender más acerca de extremos absolutos en todo el dominio? Revisa este video.
¿Quieres intentar más problemas como este? Revisa este ejercicio.
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- En el primer ejercicio como se obtienen los valores de h(x)?(1 voto)