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Encontrar extremos relativos (criterio de la primera derivada)

El criterio de la primera derivada es el proceso de analizar funciones utilizando sus primeras derivadas en búsqueda de puntos extremos. Este trabajo involucra múltiples pasos, por lo que necesitamos descomprimirlo en una forma que nos ayude a evitar errores u omisiones perjudiciales.
¿Y si te dijéramos que dada la ecuación de la función, puedes encontrar todos sus puntos máximos y mínimos? Bueno, ¡es cierto! Este proceso se llama el criterio de la primera derivada. Expliquémoslo de una manera que nos ayude a evitar errores u omisiones perjudiciales.

Ejemplo: encontrar los puntos extremos relativos de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, squared, divided by, x, minus, 1, end fraction

Paso 1: encontrar f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
Para encontrar los puntos extremos relativos de f, debemos usar f, prime. Así que empezamos derivando f:
f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, squared, minus, 2, x, divided by, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared, end fraction
Paso 2: encontrar todos los puntos críticos y los puntos donde f no está definida.
Los puntos críticos de una función f son los valores de x en el dominio de f para los cuales f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 o donde f, prime no está definida. Además de esos, debemos buscar puntos donde la función f no está definida.
Lo importante de estos puntos es que el signo de f, prime debe ser el mismo entre dos puntos consecutivos.
En nuestro caso, los puntos son x, equals, 0, x, equals, 1 y x, equals, 2.
Paso 3: analizar intervalos crecientes o decrecientes
Esto puede hacerse de muchas maneras, pero nos gusta hacerlo con un diagrama de signos. En un diagrama de signos, seleccionamos un valor de prueba en cada intervalo que está acotado por los puntos encontrados en el Paso 2 y verificamos el signo de la derivada en ese valor.
Este es el diagrama de signos para nuestra función:
IntervaloValor x de pruebaf, prime, left parenthesis, x, right parenthesisConclusión
left parenthesis, minus, infinity, comma, 0, right parenthesisx, equals, minus, 1f, prime, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, 0, point, 75, is greater than, 0f es creciente \nearrow
left parenthesis, 0, comma, 1, right parenthesisx, equals, 0, point, 5f, prime, left parenthesis, 0, point, 5, right parenthesis, equals, minus, 3, is less than, 0f es decreciente \searrow
left parenthesis, 1, comma, 2, right parenthesisx, equals, 1, point, 5f, prime, left parenthesis, 1, point, 5, right parenthesis, equals, minus, 3, is less than, 0f es decreciente \searrow
left parenthesis, 2, comma, infinity, right parenthesisx, equals, 3f, prime, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 0, point, 75, is greater than, 0f es creciente \nearrow
Paso 4: encontrar puntos extremos
Ahora que sabemos los intervalos donde f crece o decrece, podemos encontrar sus puntos extremos. Un punto extremo podría ser aquel donde f está definida y f, prime cambia de signo.
En nuestro caso:
  • f crece antes de x, equals, 0, decrece después, y está definida en x, equals, 0. Así que f tiene un punto máximo local en x, equals, 0.
  • f decrece antes de x, equals, 2, crece después, y está definida en x, equals, 2. Así que f tiene un punto mínimo local en x, equals, 2.
  • f está indefinida en x, equals, 1, así que ahí no tiene un punto extremo.
Problema 1
A Jason se le pidió encontrar dónde f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, cubed, plus, 18, x, squared, plus, 54, x, plus, 50 tiene un extremo relativo. Esta es su respuesta:
Paso 1: f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 6, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, squared
Paso 2: la solución de f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 es x, equals, minus, 3.
Paso 3: f tiene un extremo relativo en x, equals, minus, 3.
¿Es correcto el trabajo de Jason? Si no es así, ¿cuál es su error?
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Error común: no comprobar los puntos críticos

Recuerda: no debemos suponer que cualquier punto crítico es un extremo. Más bien, debemos comprobar los puntos críticos para ver si la función está definida en esos puntos y si la derivada cambia de signo en esos puntos.
Problema 2
A Erin se le pidió determinar si g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, squared, minus, 1, right parenthesis, start superscript, 2, slash, 3, end superscript tiene un máximo local. Esta es su respuesta:
Paso 1: g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 4, x, divided by, 3, cube root of, x, squared, minus, 1, end cube root, end fraction
Paso 2: el punto crítico es x, equals, 0.
Paso 3:
IntervaloValor x de pruebag, prime, left parenthesis, x, right parenthesisVeredicto
left parenthesis, minus, infinity, comma, 0, right parenthesisx, equals, minus, 3g, prime, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, minus, 2, is less than, 0g es decreciente \searrow
left parenthesis, 0, comma, infinity, right parenthesisx, equals, 3g, prime, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 2, is greater than, 0g es creciente \nearrow
Paso 4: g decrece antes de x, equals, 0 y crece después, así que hay un mínimo local en x, equals, 0 y no hay un máximo local.
¿Es correcto el trabajo de Erin? Si no es así, ¿cuál es su error?
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Error común: no incluir los puntos donde la derivada está indefinida

Recuerda: al analizar intervalos de crecimieno y decrecimiento, debemos buscar todos los puntos donde la derivado sea igual a cero y todos los puntos donde la función o su derivada no estén definidas. Si omites alguno de estos puntos, probablemente terminarás con una tabla incorrecta de signos.
Problema 3
A Jake le pidieron determinar si h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, plus, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction tiene un máximo local. Esta es su respuesta:
Paso 1: h, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 2, left parenthesis, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 1, right parenthesis, divided by, x, cubed, end fraction
Paso 2: los puntos críticos son x, equals, minus, 1 y x, equals, 1, y h no está definida en x, equals, 0.
Paso 3:
IntervaloValor x de pruebah, prime, left parenthesis, x, right parenthesisVeredicto
left parenthesis, minus, infinity, comma, minus, 1, right parenthesisx, equals, minus, 2h, prime, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals, minus, 3, point, 75, is less than, 0h es decreciente \searrow
left parenthesis, minus, 1, comma, 0, right parenthesisx, equals, minus, 0, point, 5h, prime, left parenthesis, minus, 0, point, 5, right parenthesis, equals, 15, is greater than, 0h es creciente \nearrow
left parenthesis, 0, comma, 1, right parenthesisx, equals, 0, point, 5h, prime, left parenthesis, 0, point, 5, right parenthesis, equals, minus, 15, is less than, 0h es decreciente \searrow
left parenthesis, 1, comma, infinity, right parenthesisx, equals, 2h, prime, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 3, point, 75, is greater than, 0h es creciente \nearrow
Paso 4: h crece antes de x, equals, 0 y decrece después, así que h tiene un punto máximo en x, equals, 0.
¿Es correcto el trabajo de Jake? Si no es así, ¿cuál es su error?
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Error común: olvidar comprobar el dominio de la función

Recuerda: después de encontrar los puntos donde la función cambia de dirección, debemos comprobar si la función está definida en esos puntos. De lo contrario, no es un extremo relativo.

Practica aplicar el criterio de la primera derivada

Problema 4
Sea f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 6, x, squared, minus, 15, x, plus, 2.
¿Para cuál valor de x tiene f un máximo relativo?
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Problema 5
Sea g una función polinomial y sea g, prime su derivada, definida como g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, squared.
¿En cuántos puntos la gráfica de g tienen un máximo local?
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¿Quieres más práctica? Intenta con este ejercicio.