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Contenido principal

Ejemplo 1. Analizar errores cuando encontramos extremos

Analizar el trabajo de alguien que intentó encontrar los extremos de una función para ver si cometió errores.

Transcripción del video

a pamela se le pidió determinar donde la función htx tiene un extremo relativo está su respuesta y observa aquí en este primer paso toma la derivada de esta función en el segundo paso está buscando las soluciones donde la derivada es igual a 0 y encuentro que pasa en x igualados por lo tanto este es un punto crítico es lo que dice en el paso 3 está diciendo que h tiene un extremo relativo en x igualados ok es a su conclusión es correcto el trabajo de pamela si no es así dónde está su error bien entonces pausa el vídeo y trabaja por tu cuenta para ver si pamela está bien en su ejercicio o si no lo está perfecto es hora de trabajarlo juntos así que voy a intentar trabajarlo en paralelo así que por aquí voy a intentar tomar la derivada h prima de x ok y observa es simplemente tomarnos la regla de la potencia en varias veces así que esto me va a quedar la derivada de x kubica es 3x cuadrada ok después tengo la derivada de menos 6 x cuadrada bueno menos 6 por 2 es menos 12 menos 12 x y por último la derivada de 12 x es simplemente 12 ok y ahora de aquí podemos factorizar un 3 y me quedaría h prima de x ok igual a 3 que multiplican a x cuadrada menos 4x ok más 4 y observa esto de aquí lo que está dentro del paréntesis es lo mismo que x menos 2 al cuadrado es decir que esto es exactamente igual que 3 que multiplican a x menos 2 esto elevado al cuadrado por lo tanto el paso 1 está bien ahora veamos el paso 2 dicen la solución de prima de x igual a 0 es x igualados bueno pues si eso es cierto si tomas 3x déjame ponerlo aquí h prima d igual a cero esto implica que tres que multiplican a x menos 2 al cuadrado esto tiene que ser igual a 0 esto es cierto si x es igual a 2 por lo tanto hasta aquí vamos bien aquí tenemos todos los puntos que hacen a h prima de x igual a cero y todos los puntos donde h prima de x se iguala 0 a ghana h prima de x indefinida son puntos críticos y es justo lo que dicen por lo tanto el paso 2 también es correcto bien veamos el paso 3 dice h tiene un extremo relativo en x igualados y bueno aquí está siendo un razonamiento incorrecto ella supone que dado que la primera derivada es igual a cero entonces tenemos un extremo relativo así que veamos si esta conclusión es correcta cuando tenemos un extremo relativo nuestra curva se ve más o menos así donde aquí tenemos una pendiente de 0 es decir aquí tenemos nuestro extremo relativo y antes de ese punto tenemos una pendiente que es positiva y después de ese punto tenemos una pendiente que es negativa así que en este caso tenemos un punto máximo y también lo podemos ver de la siguiente manera este sería el otro caso donde tenemos un extremo relativo donde observa de nuevo aquí tenemos una pendiente de 0 y ahora lo que está pasando es que antes de esta pendiente de cero tenemos una pendiente que es negativa y después tenemos una pendiente que es positiva por lo tanto aquí tenemos un mínimo pero cuidado hay casos donde tenemos la primera derivada igual a cero y no tenemos un extremo relativo por ejemplo podemos pensar en algo así una función que se vea más o menos así donde en este punto de aquí tengamos una pendiente de 0 observa pero antes de eso tengamos una pendiente positiva y después de eso también tengamos una pendiente positiva de tal forma que no podemos hacer esta conclusión solo con ver la primera derivada igual a cero cuidado puedes decir que en efecto es un punto crítico pero no es forzoso que tengas un extremo relativo puedes tener este caso donde tenemos un punto de inflexión para dar esta conclusión tienes que probar qué está pasando con la derivada antes de ese punto y después de ese punto para ver que en efecto está cambiando de signo y bueno podemos intentarlo así que para eso qué te parece si hacemos una pequeña tabla por aquí déjame poner por aquí una pequeña tabla voy a tener los valores de x y por aquí los valores de h prima de x ok y vamos a fijarnos en algunos valores sabemos que cuando x es igual a 2 tenemos que la primera derivada vale 0 así que lo voy a poner aquí cuando x vale 2 la primera derivada vale 0 ahora vamos a fijarnos qué es lo que pasa antes de x igualados y después de x igualados en la primera derivada y probemos qué es lo que pasa con x igual a 1 y con x igual a 3 para ver simplemente qué es lo que pasa en cada lado después y antes de x igualados veamos cuando x es igual a 1 me quedaría art 1 - 2 lo cual es menos 1 al cuadrados 1 x 3 es simplemente 3 así que es positivo y ahora con 3 me quedarían 3 - 2 es uno al cuadrado es 1 por 3 también me da 3 tenemos un valor que también es positivo de hecho observa es la situación que acaba de dibujar donde tenemos una pendiente que es positiva que es positiva llega aquí al punto donde es cero y después sigue siendo positiva positiva positiva y es justo por ello que tienes que hacer esta tabla para saber qué es lo que pasa antes y después del punto crítico y así identificar los extremos por esta razón ya podemos decir que este no es un extremo relativo porque no es un máximo o un mínimo así que pamela no llegó al resultado correcto cometió el error en el paso número 3 recuerda para llegar a una conclusión correcta debes hacer la prueba para ver que en efecto la primera derivada cambie de signo en ambos lados del punto crítico hasta la próxima