Encontrar puntos críticos

en este vídeo vamos a definir esta función f x que es x por ea la menos 2 x cuadrada así que esta función lo que lo que queremos obtener de esta función son sus valores críticos así que te invito a que hagas una pausa y que pienses cuáles son ok entonces suponiendo que ya lo checas te vamos a ver recordemos que es un valor crítica en un crítico entonces se es un valor crítico un valor crítico y vamos realmente a definir esto es un valor crítico de f sí y sólo sí y aquí voy a poner esto que es si con un doble y que significa sí sólo si f prima de s es decir la derivada evaluada en 60 o f prima en c es indefinida está indefinido ok entonces esta es nuestra definición de valor crítico muy bien entonces para esto vamos a utilizar la regla de la cadena necesitamos por supuesto calcular la derivada de f que es esto y que se ve que hay que utilizar regla de la cadena y regla del producto para encontrar cuando la derivada se anula o cuando no está definida muy bien entonces vamos a calcular f prima de x va a ser igual a la derivada con respecto de x de quien pues vamos a utilizar ahora la regla del producto sería la derivada de x y aquí la derivada de x por la otra función que es a la menos 2 x cuadrada y ahora hay que sumar hay que sumar la derivada de la segunda función que en nuestro caso es la menos dos x cuadrada esta derivada que multiplica a la primera que es x muy bien entonces esta primera es muy sencilla porque la derivada de x con respecto de x simplemente es una verdad entonces esto no nos queda como esto será igual a ea la menos 2 x cuadrada y aquí hay que pensar como derivamos estoy aquí usamos la regla de la cadena la derivada de ea la menos 2x cuadrada con respecto a menos 2 x cuadrada es es que voy a ponerlo con rosa mejor esto con rosa dije vamos a ponerlo con rosa entonces esto es a la menos dos x cuadrada por la derivada de menos 2 x cuadrada respecto de x y eso es simplemente este pasa abajo multiplicando y nos queda menos 4x y por supuesto todavía hay que multiplicar por la otra equis esta x de aquí muy bien entonces esto ya se ve mucho más amigable pero todavía podemos hacer más porque podemos factorizar a la menos 2 x cuadrada y a la menos 2 x cuadrada multiplica por un lado multiplica a 1 y por otro lado a menos x voy a escribir esto con verde esto de aquí es menos aunque es menos 4x cuadrada esto fue esta parte muy bien entonces esto ya es nuestra derivada y tenemos que preguntarnos cuando se anula o cuando no está definido ahora fijémonos que este primer factor es a la menos dos x cuadrada está definido para todos los números reales muy bien esto está siempre definido y esta parte de aquí también siempre está definido entonces no puede ser un punto crítico del tipo de aquel donde la derivada no está definida entonces si hay un punto crítico es de esta forma es decir debemos encontrar las x para lo cual esto se anula sin embargo era la menos 2x cuadrada nunca nunca es 0 verdad entonces esto de aquí por ejemplo cuando es esto el exponente es muy negativo digamos si se aproxima a cero pero nunca es cero ok entonces esto nunca es cero así que lo único que nos queda ver es cuando será cierto que 1 menos 4 x cuadrada es igual a 0 y esto es muy fácil porque sumamos 4x cuadrada de ambos lados y nos queda que uno es 4x cuadrada dividimos ambos lados entre 4 y nos queda un cuarto es igual a x cuadrada y si sacamos raíz cuadrada obtenemos que bueno tenemos que sacar tanto la raíz positiva como la negativa verdad ambos son soluciones de esta ecuación y nos queda que es más o menos un medio que es la raíz cuadrada de un cuarto muy bien entonces uno puede realmente verificar que la derivada en un medio es cero y que la derivada en menos un medio también es cero ambos son valores críticos de nuestra función y son los únicos entonces los valores críticos valores críticos los valores críticos son dos y son un medio y menos un medio