Optimización: costo de materiales

un contenedor rectangular sin tapa necesita tener volumen igual a 10 metros cúbicos la longitud de la base es dos veces su ancho el material para la base cuesta 10 pesos el metro cuadrado y el material para los lados cuesta 6 pesos el metro cuadrado hay que encontrar el costo del contenedor más barato esto suena muchísimo un problema de optimización hay unas restricciones unos costos si queremos minimizar el costo entonces vamos a hacer un dibujo para pasar los datos y resolver el problema déjame poner por acá el contenedor esto va a ser un lado del contenedor más o menos algo así es una caja si es una caja sin tapa más o menos algo de este estilo voy a poner por acá el otro lado digamos que va como por allá que va como por acá más o menos estoy intentando hacerlo en perspectiva y como es una caja sin tapa bueno aquí aquí tiene un lado acá tiene otro lado pero como es una caja sin tapa podemos ver el interior y por tanto podemos ver esta esquinita de acá esta esquinita de acá que viene más o menos de por acá y podemos ver este lado ok entonces ese de ahí es nuestro con tenedor vamos a leer la información que nos dan para ver qué podemos meter acá entonces dice un contenedor rectangular sin tapa tiene un volumen de 10 metros cúbicos estos son importantes para ponerle que el volumen es de 10 metros cúbicos dice la longitud de la base es dos veces su ancho eso también son importantes entonces dejar de ponerle digamos que que el ancho es este de acá va vamos a ponerle x y entonces la longitud es de 2 x y la longitud de 2 veces el ancho entonces vamos a ponerle ahí x2 x y la altura pues quién sabe cuánto sea verdad todavía no nos la han dado entonces vamos a ponerle digamos h ok entonces ahí tenemos a x2 x h el material para para la base cuesta 10 y para los lados cuesta 6 y hay que encontrar el costo del contenedor más barato entonces como que suena que tenemos que calcular el costo verdad dar una expresión para el costo déjame ponerle por aquí costo costo de la caja costo de la caja va y cómo le hacemos para encontrar el costo de la caja pues tenemos que separar según los casos verdad o sea si tenemos lados cuesta ciertas cosas y tenemos la base cuesta otra cosa entonces vamos a separar según el tipo de helados o la base que tengamos vamos a empezar con con la base te parece entonces déjame pintar la base ahí que todo un poco feo vamos a pintar la base con este color naranja entonces es esa de ahí va y tenemos que encontrar cuánto nos cuesta la base entonces vamos a empezar con el costo de la base para calcular ese costo tenemos que encontrar primero su área verdad el área de la base el área de la base es x x 2 x el área de la base es x x 2 x le voy a poner si x x 2x pero una vez teniendo el área aquí nos dice cuánto nos cuesta cada metro cuadrado de la base es decir hay que multiplicar este x por 2 x por este 10 que nos quedaría 10 x x x 2 x esto de aquí es el área de la x donde el costo de la base lo va a poner mejor aquí abajo sale bueno nada lo señaló así la base base ahora vamos con los otros dos cuáles son los otros dos costos pues ahora tenemos que ver qué le pasa este lado a este lado estos dos lados se comportan igual y a este lado con este lado que también se comportan igual vamos a pintarlos con color rosa bueno este éste lo voy a pintar con color rosa este de acá atrás que es igualito este también lo voy a pintar con color rosa y entonces qué sucede con estos con estas dos con estos dos lados pues mira cada uno de estos tiene el lado xy altura h va entonces el área de digamos este lado es x por h le voy a poner por acá x por h entonces el costo el costo de este lado es x por h por 6 6 por x por h ahí va uno de los lados pero este lado es igualito este de acá tenemos dos de esos entonces hay que multiplicar por dos va y de modo similar estos que ahora voy a pintar con morado pues también son dos y también podemos calcular los igualitos y entonces estos morados ahora tiene el lado 2x y la altura h entonces habrá que sumar nos quedaría 2 x 2 x x h valen otra vez el costo de ese material es de 6 pesos por metro cuadrado y son 2 para entonces 2x h es el área 2x h por 62 x h por 6 es el costo de uno de los lados pero son dos muy bien entonces estoy acá es el costo de las energías de los lados lados déjame simplificar un poquito entonces el costo de la caja es igual a 2 por 16 20 x x x s x cuadrada me queda 20 x cuadrada más 12 x h 12 x h más 2 x 6 12 x 12 24 24 x h muy bien y estoy aquí es igual a 20 x cuadrada 20 x cuadrada más 36 36 x h excelente entonces lo que tenemos que minimizar es este costo de acá hay que optimizar 20 x cuadrada más 36 x h sin embargo esto está en dos variables x y h cómo le podemos hacer para pasar esto algo que si se vamos a hacer algo que sólo tengan una pues mira no hemos utilizado esta condición de acá la del volumen y suena que esa es la clave verdad entonces cómo podemos escribir el volumen en términos de las dimensiones pues multiplicando las x por h por 2x entonces esto qué volumen sea igual a 10 metros cúbicos es lo mismo que decir que x por 2x por h es igual a 10 o bien aquí nos queda x 42 x cuadrada h o sea que 2x cuadrada h es igual a 10 y decir aquí queremos despejar h para ponerlo en términos de x pues hay que dividir entre 2x cuadradas de ambos lados h es igual a 10 entre 2x cuadrada que es lo mismo que 10 entre 12 55 entre x cuadrado muy bien entonces este x h podemos cambiar este h por este valor de acá y nos queda ahora así que el costo en términos de x ya no va a haber h es igual a 20 x cuadrada más 36 por h que es 55 / x nada más simplificamos nos queda que 20 x cuadrada más aquí es 5 x 36 6 por 5 es 35 por 30 de 150 150 y 30 son 180 180 que hay x arriba y x cuadrada abajo nos queda que quizá la menos uno sale ya lo puse así para que sea más fácil de llevarlo muy bien ahora sí ya tenemos una expresión que podemos derivar vamos a hacer eso déjame pasar a la izquierda entonces esta de aquí es cdx y por tanto se prima de x para derivar este 2 bajan 2 por 20 es 40 nos queda 40 x más o menos verdad porque ahora esté menos baja menos por más es menos nos queda 40 x menos 180 180 y el exponente baje en 1x a la menos 2 muy bien entonces queremos optimizar esta expresión queremos ver dónde hay puntos críticos eso quiere decir que queremos ver dónde o bien está indeterminada o bien es igual a cero está indeterminada para x igual a cero verdad si x es igual a cero aquí estamos dividiendo entre cero entonces ahí estaría indeterminado pero si x es igual a cero pues tenemos varios problemas verdad por ejemplo aquí no mide nada aquí tampoco mide nada y h sería igual a infinito entonces suena que es una caja muy muy muy grande pero pues hay como que problemas en ese sentido entonces ese caso como que no no entra en el sentido práctico de este problema así que vamos a saltarnos así ahora lo que tenemos que hacer es ver dónde está esta derivada de acá se hace igual a cero entonces ahora lo que necesitamos es que 40 x menos 180 x a la menos 2 sea igual a 0 muy bien cómo le hacemos para resolver esto pues déjame ver lo mejor una buena idea es pasar de 180 x a la menos 2 para acá y vamos a hacer eso sumando 180 x a la menos 2 de ambos lados tenemos que 40 x es igual a 180 x al menos 2 muy bien ahora multiplicando por x al cuadrado de ambos lados tenemos que 40 40 x al cubo es igual a ciento ochenta 180 verdad x al cuadrado cancele este de acá y finalmente dividiendo entre 40 déjame bajar tantito dividiendo entre 40 obtenemos que x al cubo x al cubo es igual a 180 entre 40 el cero se va con el 0 nos queda 18 cuartos o lo que es lo mismo 9 medios entonces x al cubo es 9 medios y por lo tanto x es igual a raíz cúbica la raíz cúbica de 9 medios le voy a poner 4.5 salen entonces este es el valor de x muy bien entonces esto de acá es donde se anula la derivada y es el único punto entonces con un poco de suerte debería de ser nuestro mínimo pero no estamos 100% seguros de que sea un mínimo entonces tendríamos o bien que graficar y ver que sí sí parece haber un mínimo o bien hacer pues la segunda derivada y utilizar el criterio de la segunda derivada vamos a hacer eso que es como lo que tenemos más a la mano vale pero bueno si vamos a encontrar la segunda derivada vamos a ponerle y mi prima de x ahorita voy a ver cuánto es este numerito sale pero primero derivamos se ve prima de x es igual a la derivada de 40 x es 40 la derivada de esto menos dos bajas menos como menos es más que hace más dos por ciento ochenta es 360 x a la menos tres ahorita este vemos que le sucede esto bueno aquí podemos verlo ya verdad que pasa es que aquí le metemos raíz cúbica de 4.5 aquí se ve prima de x se ve prima evaluada en raíz cúbica de 4.5 pues nos va a quedar mayor o igual a 0 verdad entonces observación observación cbi prima de raíz cúbica de 4.5 es mayor o igual que 0 porque bueno aquí está algo positivo luego es 360 x x a la menos 3 pero esto es positivo entonces esto es positivo todo es positivo entonces definitivamente nos queda positivo eso que nos dice bueno qué sucede si se ve prima es mayor o igual que 0 esto quiere bueno esto sucede porque porque la gráfica es así verdad porque tenemos una cosa cóncava hacia arriba entonces la derivada empieza haciendo este muy negativa como esto es mayor o igual que 0 va creciendo va creciendo se vuelve 0 y se hace cada vez más y más positiva pero en particular aquí cuando se hace 0 tenemos un mínimo que es un mínimo porque es cóncava hacia arriba con cava asia arriba arriba muy bien entonces si en efecto esto de aquí nos indica que x igual la raíz cúbica de 4.5 es un punto mínimo pero eso no es lo que nos pregunta en verdad lo que nos piden es encontrar el costo el costo del contenedor más barato ya casi terminamos ya no más hay que ver cuánto nos da y para eso vamos a sacar la calculadora vale entonces agarramos la calculadora vamos a ver cuánto nos da entonces lo primero que necesitamos es saber bueno lo primero es prenderla vamos a borrar y necesitamos ver cuánto es la raíz cúbica de 4.57 voy a poner 4.5 elevado a la raíz cúbica es lo mismo que elevará la un tercio a la un tercio enter nos queda un 1.65 09 vamos a ponerle 1.65 entonces esa es una primera cosa lo voy a escribir por acá x es igual a 1.65 va el x óptimo es aproximadamente igual a 1.65 y ya con eso en mente el costo de la caja el costo en 1.65 es aproximadamente igual a otra vez agarramos la calculadora y tenemos que ver la expresión verdad la expresión del costo es estar acá y además metemos 1.65 ahí para ver cuánto nos da entonces es 20 x 1.65 elevado elevado al cuadrado muy bien más más a 180 x 1.65 a la menos 1 pero lo mismo que dividir entre 1.65 muy bien verificamos que todo esté bien 20 x 1.65 al cuadrado más 180 entre 1.75 le picamos enter y aquí está el costo es 163 puntos 54 entonces esto es aproximadamente igual a 163 punto 54 pesos muy bien esto de aquí es el costo mínimo que podemos pagar por un contenedor que satisfaga estas características de aquí arriba y bueno ya nada más para analizar un poquito qué quiere decir pues esto es más o menos una caja de 160 pesos pero es una caja más o menos grande verdad si está más o menos decente mide 1.75 metros como x 320 y la altura bueno latour hay que ver cuánto sería pero también sería como 2.3 punto y cachito entonces si es una caja grande más o menos tiene sentido que cueste esto de acá y entonces este es un problema más de optimización nos vemos hasta la próxima