Tangente a y=?ˣ/(2+x³)

supongamos que tenemos esta función esta curva que es igual a ea la equis entre 2 más x al cubo y lo que quiero hacer en este vídeo es encontrar la ecuación de la línea tangente cuando x vale 1 o la línea tangente que pasa por el punto 1 coma pues si x vale 1 y sustituyó tengo a la 1 / 2 más 1 que sería entre 3 así que juan cuál es la ecuación de la línea tangente a esta curva por el punto 1 coma entre 3 y bueno los invito a pausar el vídeo ya tratar de resolverlo por ustedes mismos pero bien como le podríamos hacer pues para encontrar el primero que nada la es la pendiente de la línea tangente lo que voy a hacer es derivar esta función yo voy a reescribir esto para poder usar la regla del producto y no la del cociente porque la verdad se me hace más fácil la del cociente siempre se me olvida así que voy a reescribir esto y de hecho voy a aprovechar para usar algunos colores como que es igual a a la x x x 2 + x al cubo al menos 1 y bien entonces y derivó esto tengo que de prima sería igual a como funciona la regla el producto pues me dice primero toma a la equis y deriva deriva respecto x y eso te va a dar a la x de nuevo multiplicarlo por el segundo término tal como está en segundo término no se deriva x al cubo a la menos 1 y ahora suma el primer término tal como está a la equis x por la derivada de el segundo término así que ahora de nuevo voy a derivar ahora derivar esto es como derivar esta función respecto a 2 + x al cubo y después multiplicarlo por la derivada de dos más x al cubo' respecto a x así que cuánto va a ser eso el exponente baja exponente baja tengo menos 1 x 2 más x al cubo como si nada hubiera pasado pero ahora este exponente se convierte en un menos dos recuerden estoy derivando respecto a todo esto respecto a 2 + x al cubo y ahora voy a multiplicar por la derivada de dos más x al cubo que sencillamente es 3 x x al cuadrado ok entonces ya que tengo todo esto voy a tratar de evaluar la derivada en el punto que me interesa voy a tratar de evaluar la derivada en el punto cuando x vale 1 ese es el punto que me interesa y qué sucede pues cuando x vale 1 entonces obtendría a la 1 que sería por dos más uno que sería tres todo es a lo menos uno así que por un tercio más de nuevo a la 1 que sería en x y quizás esta parte debe estar medio fea menos 1 por dos más uno que sería 3 al menos 2 o sea que tendría un noveno menos un noveno por 3 por 1 es decir a ver lo voy a escribir así todo este cacho aquí sería incluyendo el exponente de hecho todos más x al cubo al menos dos cuando x vale 1 sería un noveno luego tengo este menos así que es menos un noveno y ahora voy a multiplicarlo por 3 por 1 que sería 3 y tengo menos un noveno por 3 sería menos un tercio así que por menos un tercio a miren pasó algo interesante déjenme otro color esto es lo mismo que entre 3 - entre 3 que simplemente es 0 así que parece que la pendiente en este punto la pendiente de la línea tangente es 0 bueno y recuerden que llegue este valor llegue este cero simplemente sustituyendo el valor x igual a 1 en la derivada de esta función y en este caso se fue simplificando hasta algo muy bonito es decir simplemente a cero pero suena algo peculiar en fin bueno vamos a tratar de con esta información escribir la ecuación de la recta tangente yo sé que cualquier recta la puede escribir en la forma ordenada al origen como que es igual a m x + b donde m es la pendiente y b es la ordenada al origen ahora en este caso m la pendiente es el valor de la derivada en el punto uno coma entre 3 y pero es lo que acabamos de encontrar por lo tanto este término de aquí se cancelaría y me quedaría que es igual a b pero que ecuación o qué tipo de línea representa esta ecuación de igual a b pues es una línea horizontal así que qué línea horizontal pasa por el punto uno coma entre tres solo la línea horizontal que esta altura entre tres sobre el eje x y esa es precisamente la línea y es igual a entre tres otro modo de ver esto es simplemente sustituir aquí pues x es igual a 1 pero esto no depende de x y cuando x es igual a 1 que es igual a entre 3 por lo tanto entre 3 es igual a b de modo que ésta sería la ecuación de la línea tangente a esa curva vamos a tratar de visualizarlo para ver si estamos en lo correcto ya que tengo mi calculadora gráfica dora muy confiable vámonos a graficar y vamos a poner la función la función de aquí y a la equis dividido entre dos más equis ahí está y yo ya había puesto los parámetros del rango y los digamos márgenes previamente para ahorrar tiempo así que vamos directamente a la gráfica vamos a ver cómo se ve esto ahí está wow tiene aquí una sim total parecerse luego tiene esta jorobita es una gráfica bastante peculiar pero vamos a tratar de entender su comportamiento déjenme congo trace la función me permite desplazarme a lo largo de la gráfica aquí tengo el valor de xy el valor de y voy a poner a x en 1 x igual a 1 ahí está entonces este punto sería el que le corresponde a x igual a 1 la altura de la gráfica es este número de aquí 0.9 0 6 al etcétera etcétera que es la expansión decimal de entre 3 pero bueno aquí la función parece tener un máximo local por lo tanto si parece tener sentido que la línea tangente sea precisamente una línea horizontal que la pendiente de la línea tangente sea precisamente 0 es decir la función ahí tiene un máximo local la derivada se anula y esta gráfica entre particularmente el valor de la gráfica en este punto me hace sentir bastante cómodo con la respuesta que dimos al problema