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Ejemplo resuelto: regla del producto con una función dada explícitamente y otra implícitamente

Dados los valores de f y f' en x=-1, y que g(x)=1/x, en este video evaluamos la derivada de F(x)=f(x)⋅g(x) en x=-1.

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Transcripción del video

nos dicen se a efe una funcionan tal que efe - 1 es igual a 3 y f prima de menos 1 es igual a 5 por otra parte se hace la función definida como jefe x igual a 1 entre x isea efe efe mayúscula una función definida como f mayúscula de x igual a efe de x por gdx y nos preguntan cuánto vale f prima de menos 1 bien aquí podemos simplemente aplicar la regla del producto vamos a utilizar la regla del producto de las derivadas para obtener f prima de x porque f mayúscula prima de x y es que observa que f mayúscula de x es igual al producto de estas otras dos funciones cuando aplicamos la regla del producto en esto me va a quedar que en fue mayúscula prima de x es lo mismo que efe minúscula prima de x la derivada del primero por el segundo de x ya esto le sumamos la función que está en primer lugar tal cual sin derivar y a esto lo multiplicamos por la derivada del segundo en especial si nosotros queremos f prima de menos 1 entonces esto me quedaría de la siguiente manera efe mayúscula prima de menos 1 esto es exactamente lo mismo que y bueno poner aquí menos 1 efe minúscula prima de menos 1 x de -1 ok ya esto sumarle efe de menos 1 multiplica y multiplica a prima de menos 1 la derivada de g evaluada en menos uno ahora nosotros sabemos cuánto vale la derivada de efe minúscula evaluada menos uno bien si lo sabemos es justo lo que nos dicen aquí efe prima de menos uno es igual a cinco así que puedo sustituir esta parte de aquí por menos 5 déjame ponerlo esto de aquí sabemos que es 5 positivo no menos 55 positivo 5 positivo y nosotros sabemos cuánto vale efe de menos uno si también lo sabemos aquí nos lo dicen efe de menos uno es igual a tres así que lo voy a utilizar y lo voy a poner justo aquí efe - 1 esto ya podemos quitar y poner que es igual a 3 a 3 ahora habrá que saber cuánto valen de menos 1 ig prima de menos 1 pero por otra parte sabemos que gx es la función uno entre x así que ya podemos saber cuánto es g de menos 1 g de menús uno bueno en lugar de que os voy a poner menos 1 me va a quedar 1 entre menos uno lo cual es simplemente menos 1 entonces ya sabemos cuánto vale g de menos 1 eso está muy sencillo lo voy a poner con este color que de menos 1 es menos 1 escribamos lo esto de aquí es menos 1 ok y por último pero no menos importante queremos encontrar cuánto valen que prima de menos 1 así que tenemos que sacar la derivada de g x gdx es igual a 1 entre x así que déjame notarlo por aquí que de x es igual y en lugar de poner uno entre x voy a poner x a la menos uno para poder aplicar la regla de las potencias si queremos encontrar la derivada de esta función que tengo aquí bueno si aplicamos la regla de las potencias este exponente lo voy a bajar y me va a quedar menos 1 que multiplican a x elevado a la menos uno menos uno es decir a la menos dos y si ahora quiero encontrar cuánto vale prima de menos uno bueno esto va a ser igual a menos uno que multiplica a menos uno elevado a la menos dos ahora esto es exactamente lo mismo que menos uno entre menos uno elevado al cuadrado al cuadrado y menos un elevado al cuadrado sólo es uno positivo entonces todo esto prima de menos uno nos da de resultado menos uno así que déjame escribir lo que prima de -1 me da como resultado en menos 1 y ahora sí si quiero encontrar cuánto es efe mayúscula prima de menos 1 bueno esto va a ser igual a quien a 5 x menos 1 lo cual es menos 5 ok más 3 por menos 1 lo cual es menos 3 entonces esto es igual a menos 8 y ya puedo poner que es mayúscula prima de menos 1 es lo mismo que menos 8 y hemos acabado