Diferenciar funciones racionales

digamos que ya es 5 - 3x sobre x al cuadrado 3x y nosotros queremos encontrar la derivada de y con respecto a x tal vez en estos momentos estás pensando que ya es una expresión racional que ya es el cociente de dos expresiones distintas incluso lo podríamos ver como dos funciones distintas podríamos decir que esto es la función de x lo que podríamos decir que esto es igual de x / vdx si vemos a esta función de acá como ve de x así es que si tenemos una función que se puede escribir como el cociente de otras dos funciones entonces podemos utilizar la regla del cociente y recuerda siempre que se te olvide la regla del cociente la puedes derivar de la regla del producto y ya tenemos muchos vídeos de la regla del producto porque es más fácil de recordar pero a ver si tenemos esta función ya y queremos encontrar la derivada de jake con respecto a x si tenemos aquí de de x lo único que tengo que hacer aquí es volver a escribir la regla del producto esto va a ser igual a la derivada de la función que se encuentra en el numerador de de x de de x por la función que se encuentra en el denominador por b de x menos la función que se encuentra en el numerador y de x la derivada de la función que se encuentra en el denominador o sea de de x de b de x aquí tenemos que dividir todo entre la función que está en el denominador al cuadrado o sea b de equis elevada al cuadrado bueno tal vez se ve un poquito complicado pero no lo es porque sólo tenemos que pensar en cuál es la derivada de v x cuál es la derivada de vd x sustituir esas derivadas y ya tenemos esta expresión entonces vamos paso por paso primero vamos a encontrar la derivada de v x vamos a ponerla por acá la derivada con respecto de x de q x es igual a haber por aquí tenemos q de x la derivada de 50 pero la derivada de menos 3x con respecto a x es menos 3 si alguna parte de este cálculo te parece poco familiar o extraño te recomiendo que repases las propiedades de las derivadas y la regla de las potencias bueno y ahora pensemos cuál es la derivada con respecto de x de la función de de x la derivada de x al cuadrado pues simplemente tomamos el exponente lo ponemos al principio y multiplicamos por x a la 2 - 1 pero dos menos uno es uno y esto es igual a dos por equis y luego la derivada de 3x es simplemente 3 así es que la derivada de vd x es 12 x + 3 y ahora si ya tenemos todo lo que necesitamos sustituir por acá la derivada de x con respecto de x esto lo tenemos aquí es menos 3 luego estamos multiplicando por b de x vdx lo tenemos aquí es x al cuadrado más 3x y luego de x sabemos que es 5 menos 3 x es 5 menos 3 x y luego la derivada de vd x con respecto a x la tenemos por acá es 2x más 32 x más 3 y finalmente bb x tenemos por acá que es x al cuadrado más 3 x esta expresión la tenemos que elevar al cuadrado entonces que tenemos por aquí bueno pues va a estar un poquito enredoso pero todo esto es igual primero nos vamos a enfocar en este pedazo tenemos que distribuir al menos tres en esta expresión así es que tenemos menos 3 por x al cuadrado menos 3 x al cuadrado menos 9 x y luego a esto le vamos a restar restar la multiplicación de estas dos expresiones así es que calculemos esa multiplicación tenemos un 5 por 2 x eso es 10 x + 5 x 3 eso es 15 y luego tenemos un menos 3 x x 2 x eso es menos 6 x al cuadrado y luego menos 3 x por 3 menos 9 x pero a ver podemos simplificar esta expresión más si podemos aquí tenemos 10 x menos 9 x 10 x 9 x es simplemente x y luego en el denominador tenemos esta expresión que podemos simplemente dejarla así o si quisiéramos podríamos expandirla pero yo simplemente la voy a dejar así esto es x al cuadrado más 3x y todo eso al cuadrado bueno pero todavía no hemos terminado aquí lo podemos simplificar más esto es igual a menos 3 x al cuadrado menos 3 x al cuadrado menos 9 x y luego tenemos este signo negativo entonces tenemos menos x menos x y luego menos 15 y finalmente menos menos 6 x al cuadrado así es que aquí nos queda más 6x al cuadrado y esto se divide entre x al cuadrado más 3x al cuadrado pero simplificamos el numerador aquí tenemos menos 3x al cuadrado más 6x al cuadrado estos términos juntos son 3x al cuadrado luego tenemos menos 9 x y también tenemos menos x y estos dos términos juntos son menos 10x y luego tenemos menos 15 y listo ahora si ya terminamos esto es igual a 3 x al cuadrado menos 10 x menos 15 entre x al cuadrado más 3 x cuadrado