Analizar asíntotas verticales de funciones racionales

describe el comportamiento de la función q alrededor de su asiento está vertical en x igual a menos 3 de aquí nos dan nuestra función q de x verdad es x cuadrada más 3 x 2 dividido entre x más 3 muy bien entonces como siempre pues si ya estás familiarizado con este tema te invito a que hagas una pausa y trates de resolver este problema por tu propia cuenta y si no estás familiarizado de todos modos vamos a hacerlo juntos muy bien entonces aquí tenemos nuestra función q de x verdad esta función es una función racional es decir es el cociente de dos polinomios y digamos cuando estamos trabajando este tipo de problemas a mí lo que me gusta hacer es tratar de factorizar todo lo que se pueda factorizar así que vamos a empezar con eso vamos a ver si podemos factorizar este numerador entonces tenemos que pensar en dos números que multiplicados nos den 2 pero que sumados nos den 3 y si lo pensamos detenidamente pues 2 y 1 funcionan verdad 2 por 1 es 22 más uno es 3 así que esto se factorizar como x más vamos a poner primero x más 1 que multiplica a x + 2 y todo esto va dividido entre x más 3 verdad esta es una forma equivalente de la expresión anterior y si a lo mejor está este método que utilizamos aquí te resulta algo extraño te recomiendo que veas los vídeos sobre factorización de funciones cuadráticas aquí en khan academy muy bien entonces ya con esto podemos observar algunas cosas por ejemplo notemos que cuando x vale menos 1 o cuando x vale menos 2 el numerador se anula pero el denominador no verdad el denominador sólo se va a anular cuando x es igual a menos 3 y x igual a menos 3 es un muy buen indicio de lo que de dónde vamos a encontrar una cinta vertical verdad y de hecho recuerden porque se les llama asiento verticales se le llama 5ta vertical porque la función alrededor de ese valor se ve más o menos así verdad tiene una cinta vertical o bien puede ser que crezca por el lado derecho y de crezca por el lado izquierdo o puede ser que crezca por ambos lados o de crezca por digamos por ambos lados también verdad entonces bueno cualquiera de estas combinaciones podría ocurrir muy bien entonces qué es lo que vamos a hacer ahora digamos que qué tal si ponemos una recta numérica para ir distinguiendo los valores que tenemos entonces digamos los valores importantes que hay que notar serían menos 3 - 2 -1 verdad estos son digamos como los tres valores importantes que deberíamos considerar que de hecho es cuando se anula el numerador o el denominador entonces nos preguntan o más bien nos piden describir el comportamiento de la función que alrededor de la cinta está vertical en x igual a menos 3 que de hecho ya vimos que hay una cinta vertical verdad entonces la pregunta ahorita es qué significa esto verdad x flecha menos 3 menos y en realidad esto significa que x se aproxima a menos 3 del lado izquierdo es decir con valores más pequeños que menos 3 verdad son valores más pequeños que menos 3 entonces en realidad se está refiriendo lo voy a hacer con un color más más claro se está refiriendo a todos estos valores a todos los valores de x que sean chicos que -3 verdad vamos a aproximarnos con estos valores hacia -3 pero del lado izquierdo entonces si pensamos en que tomamos valores de x más chicos que menos 3 qué signo tiene este factor bueno algo más chico que menos 3 le sumamos 1 pues nos queda algo negativo verdad algo más chico que menos 3 y le sumamos 2 nos queda algo nuevamente negativo y algo más pequeño que menos 3 al sumarle 3 todavía nos queda algo negativo entonces a medida que nos vamos aproximando a menos 3 del lado izquierdo obtendremos valores negativos el detalle es que estos valores negativos se harán cada vez más y más y más grandes bueno por supuesto podríamos pensar lo que serán más negativos verdad por ejemplo a lo mejor primero es menos uno menos 10 menos 25 qué sé yo pero el punto es que se van haciendo más grandes por ejemplo vamos vamos a intentar con un valor particular pensemos en q evaluada en menos 3.1 cuánto valdría que evaluado en menos 3.1 por supuesto aquí verdad ese es un número muy cercano a menos 3 verdad es muy cercano a menos 3 pero está del lado izquierdo por digamos que por aquí estaría el menos 3.1 verdad entonces menos 3.1 más o no nos da menos 2.1 luego menos 3.12 nos da menos 1.1 y ahora en el denominador que es lo que vamos a tener menos 3.13 nos da menos 0.1 entonces aquí es claro que tenemos un número negativo verdad es menos x menos entre menos nos da menos verdad pero estamos dividiendo entre un número muy muy muy cercano a cero verdad eso significa que este número en total nos va a dar muy grande verdad nada más que va a tener un signo menos verdad e incluso podríamos por ejemplo nosotros intentar qué pasaría si ponemos menos 3.01 entonces aquí nos quedaría menos 2 puntos 0 1 aquí sería menos 1.0 1 y aquí menos 0.01 0.01 y otra vez queda un número negativo dividido entre un número muy cercano a cero entonces esto hace que se vaya haciendo cada vez más y más grande aunque con signo negativo entonces podemos decir que a medida que x se aproxima a menos 3 del lado izquierdo entonces la función tiende a menos infinito verdad entonces esta es una opción o bien podríamos pensar que esta puede ser otra opción viable verdad el punto es que cuando nos aproximamos a menos 3 del lado izquierdo la función se hace muy grande pero con signo negativo verdad ahora pensemos que es lo que ocurre cuando x se aproxima menos 3 pero ahora es del lado derecho verdad es del lado derecho eso es lo que significa digamos esta anotación es decir nos vamos a aproximar con valores que se encuentran del lado derecho de menos 3 verdad entonces estos son los valores de x mayores que menos 3 y llegamos aquí es menores que en los dos entonces vamos a dejarle una bolita abierta verdad ok entonces qué es lo que ocurre cuando x es más grande que menos 3 pero más chico que menos 2 bueno si tenemos un valor más grande que menos 3 x más chico que menos 2 este número de aquí x más 1 sería otra vez negativo verdad digamos que el límite sería menos dos más uno que sería menos uno y es negativo ahora si x es más chico que menos 2 x + 2 nuevamente será negativo verdad digamos es un número más negativo que menos 2 al sumarle 2 sigue siendo negativo pero ahora x + 3 como sería bueno si tenemos un número más grande que menos 3 podríamos decir que es menos negativo que menos 3 al sumarle 3 pues ahora nos queda un número positivo verdad entonces todo esto nos da un número positivo por ejemplo vamos a intentarlo con un valor particular q evaluado en menos 2.99 verdad fue evaluado en menos 2.99 menos 2.99 está por arriba de menos 3 y por abajo de menos 2 y aquí que tendremos menos 2.99 uno será menos 1.99 esto multiplica a menos dos puntos 99 2 que es menos 0.99 verdad y esto irá dividido entre menos 2.99 más 3 que es 0.01 entonces podemos ver que este número es positivo y estamos dividiendo entre un número muy cercano a 0 eso quiere decir que todo este número será muy muy grande lo cual nos ayuda a ver que a medida que x se aproxima a menos 3 por el lado derecho esta función toma valores cada vez más grandes y positivas es decir a medida que x se aproxima a menos 3 del lado derecho q de x tiende a más infinito entonces digamos la mejor opción que describe o la opción que describe mejor a la función verdad alrededor de la 5ta es esta