Discontinuidades de funciones racionales

tenemos esta función g x igual a x cuadrada más 5 x menos 14 dividido entre x cuadrada más 4 x menos 21 y nos dice el ejercicio que para cada uno de los siguientes valores de x selecciona sí que tiene un cero una cinta vertical o una discontinuidad removible y aquí nos dan nuestras tres opciones para los valores de x del cual hay que determinar si es cero jacinto está vertical o discontinuidad removible así que como siempre te invito a que hagas una pausa trates de resolverlo por tu propia cuenta pero bueno ahora vamos a resolverlo nosotros juntos y antes de fijarnos realmente en las opciones que tenemos lo que quiero hacer es factorizar el numerador y el denominador para poder ver cuándo es que el numerador y el denominador se anulan muy bien entonces vamos a tratar de factorizar esto aquí por ejemplo necesitamos dos números que multiplicados nos den menos 14 y sumados más 5 eso - sería x 7 verdad que multiplica a x2 entonces 7 x menos 2 nos da menos 14 y 7 al sumarle menos 2 nos da 5 entonces aquí tenemos bien la factorización y ahora en el denominador vamos a buscar dos números que multiplicados nos den menos 21 pero que sumados nos den 4 entonces aquí nuevamente podríamos tomar x + 7 y tendríamos que tomar x menos 3 verdad entonces 7 x menos 3 es menos 21 y 7 menos 3 es 4 muy bien entonces pensemos ahora cuando es que el numerador se anula entonces pensemos aquí que el numerador voy a ponerlo así el numerador será igual a 0 y x es igual a menos 7 verdad y así es que así se anularía este factor o bien x es igual a 2 verdad para qué entonces se anule este segundo factor ahora pensar en pensemos qué ocurre con el denominador entonces el denominador será igual a 0 si x es igual a menos 7 y así este factor se anularía o bien si se anula el otro factor para lo cual necesitaríamos que x sea igual a 3 verdad entonces como podemos ver aquí tenemos nuestros tres candidatos para los valores interesantes de x verdad pero lo que podemos notar es que cuando x no es menos 7 estos dos factores se pueden cancelar verdad y entonces la expresión digamos más simplificada que tenemos de esto de aquí sería x menos 2 dividido entre x menos 3 verdad sólo que tenemos que agregar una restricción x no puede ser menos 7 y entonces esto hay que agregar lo porque si fuera menos 7 en la expresión de la izquierda tendríamos 0 entre 0 y eso no está definido verdad entonces hay que agregar esta restricción para que estas dos expresiones sean algebraica mente equivalentes entonces aquí tenemos algo interesante verdad porque antes teníamos que cuando x era igual a menos 7 tendríamos una expresión de la forma 0 entre 0 pero justamente pudimos removerlo y si lo graficar amos verdad si gráfica vamos esta función lo que tendríamos sería una una curva digamos continua que tiene un agujero verdad tiene un agujero es decir tiene un punto en donde no está definida justo en x igual a menos 7 y en general cuando tenemos la situación en donde tenemos un factor que aparece tanto en el numerador como en el denominador y que además aparezca con el mismo exponente por ejemplo aquí en este caso el exponente es uno verdad entonces tendremos una discontinuidad removible entonces justamente aquí en -7 tenemos una discontinuidad removible ahora vamos a ver qué es lo que ocurre con las otras opciones veamos aquí podemos determinar que en x igual a 2 tenemos un 0 verdad porque justamente es cuando se anulan nuestro numerador y no se anula el denominador verdad entonces aquí en x igualados tendremos un 0 y en cambio en x igual a 3 verdad sería cuando se anula el denominador pero el numerador no se anula verdad entonces en este caso tenemos una a sin tota vertical entonces aquí tenemos una cinta vertical y de hecho se llama así porque cuando nos acercamos a él digamos el denominador se hace muy pequeño verdad cuando x se hace digamos toman valores parecidos a 3 pero no iguales a 3 entonces el denominador se hace muy pequeño ya sea que sea positivo negativo verdad y así tenemos valores para esta función que son muy grandes digamos positivamente grandes o que son muy grandes pero con signo negativo es decir si lo grafica mos se vería más o menos algo así que crece muchísimo cerca de este valor pero por el otro lado podría hacerse algo así verdad que que sea muy muy negativo o bien podría verse al revés verdad que por el lado izquierdo se haga muy negativo mientras que por el lado derecho se vea muy positivo guardada por aproximándonos a este valor y en algunos otros casos se puede ver como más o menos de esta forma verdad podría ocurrir también en otros casos muy bien entonces algunas de estas opciones podría ser la gráfica y por eso es que les llamamos a síntomas verticales muy bien entonces veamos otro ejemplo veamos otro ejemplo aquí tenemos este ejemplo que dice tenemos aquí la función p de x y nuevamente tenemos que encontrar cuáles de estos valores son cero jacinto estás verticales o discontinuidades removibles y como siempre trata de hacer una pausa para resolver por tu propia cuenta el ejercicio entonces vamos a hacerlo como en el caso anterior vamos primero a factorizar entonces vemos dos números que multiplicados nos den menos 15 y sumados 2 esos pueden ser cinco y menos tres entonces tenemos x más 5 por x menos 3 verdad 5 x menos 3 es menos 15 5 menos 3 es 2 muy bien y en el denominador que podríamos poner bueno dos números que multiplicados nos den 25 y sumados 10 esos son x + 5 por ejemplo 5 y 5 verdad 5 x 5 es 25 y cinco más cinco es 10 entonces tenemos estos dos factores muy bien entonces nuevamente nosotros si no si no consideramos x igual a menos 5 verdad podríamos cancelar estas expresiones y si nos damos cuenta esto es bastante interesante verdad porque aquí nuevamente tenemos este factor x más 5 verdad entonces x igual a menos 5 sería una discontinuidad removible si éste factor de aquí no apareciera verdad pero ahora que si aparece este factor en el denominador hace que digamos que tengamos una cinta vertical en x igual a menos 5 vamos a vamos a reescribir esto digamos tendremos x menos 3 sobre x más 5 entonces uno pensaría que como pudimos cancelar los factores sería discontinuidad removible pero como aparece otra vez este factor en realidad es una a sin tota vertical verdad entonces aquí uno podría pensar bueno también tendremos que poner la restricción como en el caso anterior verdad en el caso anterior tuvimos que poner la restricción para indicar que eran expresiones algebraica mente equivalente sin embargo aquí en este en este ejemplo ya está implícita la restricción verdad porque de todos modos x no puede ser menos 5 pues estaríamos dividiendo entre 0 así que no hay necesidad de poner la restricción y de hecho ya garantizamos que es 1 así en total vertical en el caso de x 3 pues esto veremos qué es lo que anula el numerador verdad entonces podemos ver que la función evaluada en 3 será 0 dividido entre 35 que es 8 y esto es 0 entonces justamente x igual a 3 es un cero de nuestra función y hemos terminado