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Curso: 5° Semestre Bachillerato > Unidad 3

Lección 1: Regla de la cadena

Regla de la cadena

La regla de la cadena nos dice cómo encontrar la derivada de una función compuesta. Repasa tu conocimiento sobre composiciones de funciones, y aprende a aplicar correctamente la regla de la cadena.

La regla de la cadena establece que:

\frac{d}{d x} [f (g (x))] = f^{'} (g (x)) g^{'} (x)

Con ella podemos derivar funciones compuestas.

Breve repaso de funciones compuestas

Una función es compuesta si puede escribirse como

f (g (x))

. En otras palabras, es una función dentro de una función, o sea una función de una función.

Por ejemplo,

\cos (x^{2})

es compuesta, porque si hacemos

f (x) = \cos (x)

g (x) = x^{2}

, entonces

\cos (x^{2}) = f (g (x))

g

es la función dentro de

f

, por lo que decimos que

g

es la función "interior" y

f

la función "exterior".

\underset{exterior}{\underset{⏟}{\cos (\overset{interior}{\overset{⏞}{x^{2}}})}}

Por otra parte,

\cos (x) \cdot x^{2}

no es una función compuesta. Es el producto de

f (x) = \cos (x)

g (x) = x^{2}

, pero ninguna de las funciones está dentro de la otra.

Problema 1

¿Es $g (x) = \ln (\sin (x))$ ‍ una función compuesta? Si es así, ¿cuáles son la función "interna" y la función "externa"?

(Elección A)
$g$ ‍ es compuesta. La función "interna" es $\ln (x)$ ‍ y la función "externa" es $\sin (x)$ ‍.
(Elección B)
$g$ ‍ es compuesta. La función "interna" es $\sin (x)$ ‍ y la función "externa" es $\ln (x)$ ‍.
(Elección C)
$g$ ‍ no es una función compuesta

Error común: no reconocer si la función es compuesta o no

Generalmente, la única manera de derivar una función compuesta es utilizando la regla de la cadena. Si no reconocemos que una función es compuesta y que debe aplicarse la regla de la cadena, no seremos capaces de derivar correctamente.

Por otro lado, aplicar la regla de la cadena en una función que no sea compuesta también dará por resultado una derivada incorrecta.

Especialmente con funciones trascendentes (por ejemplo, funciones trigonométricas y logarítmicas), los estudiantes a menudo confunden composiciones como

\ln (\sin (x))

con productos como

\ln (x) \sin (x)

Problema 2

¿Es $h (x) = \cos^{2} (x)$ ‍ una función compuesta? Si es así, ¿cuáles son la función "interna" y la función "externa"?

¿Quieres más práctica? Intenta resolver este ejercicio.

Error común: identificar equivocadamente las funciones interior y exterior

Incluso cuando un estudiante reconoce que una función es compuesta, podría tener mal las funciones interior y exterior. Esto seguramente terminaría en una derivada incorrecta.

Por ejemplo, en la función compuesta

\cos^{2} (x)

, la función exterior es

x^{2}

y la función interior es

\cos (x)

. Los alumnos se confunden a menudo con este tipo de función y creen que

\cos (x)

es la función exterior.

Ejemplo resuelto de la aplicación de la regla de la cadena

Vamos a ver cómo se aplica la regla de la cadena al derivar

h (x) = (5 - 6 x)^{5}

. Observa que

h

es una función compuesta:

\begin{aligned} h (x) & = \underset{exterior}{\underset{⏟}{(\overset{interior}{\overset{⏞}{5 - 6 x}})^{5}}} \\ g (x) & = 5 - 6 x & función interior \\ f (x) & = x^{5} & función exterior \end{aligned}

Puesto que

h

es compuesta, podemos derivar mediante la regla de la cadena:

\frac{d}{d x} [f (g (x))] = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

Descrita verbalmente, la regla dice que la derivada de la función compuesta es la función interior

g

dentro de la derivada de la función exterior

f^{'}

, multiplicada por la derivada de la función interior

g^{'}

Antes de aplicar la regla, vamos a obtener las derivadas de las funciones interior y exterior:

\begin{aligned} g^{'} (x) & = - 6 \\ f^{'} (x) & = 5 x^{4} \end{aligned}

Ahora apliquemos la regla de la cadena:

\begin{aligned} \frac{d}{d x} [f (g (x))] \\ = & f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x) \\ = & 5 (5 - 6 x)^{4} \cdot - 6 \\ = & - 30 (5 - 6 x)^{4} \end{aligned}

Practica la aplicación de la regla de la cadena

Problema 3.A

El conjunto de problemas 3 te llevará paso a paso en la diferenciación de

\sin (2 x^{3} - 4 x)

¿Cuáles son las funciones interior y exterior en $\sin (2 x^{3} - 4 x)$ ‍?

(Elección A)
La función interior es $\sin (x)$ ‍ y la función exterior es $2 x^{3} - 4 x$ ‍
(Elección B)
La función interior es $2 x^{3} - 4 x$ ‍ y la función exterior es $\sin (x)$ ‍
(Elección C)
La función interior es $2 x^{3}$ ‍ y la función exterior es $- 4 x$ ‍
(Elección D)
La función interior es $- 4 x$ ‍ y la función exterior es $2 x^{3}$ ‍

Problema 4

\frac{d}{d x} [\sqrt{\cos (x)}] = ?

¿Quieres más práctica? Intenta resolver este ejercicio.

Problema 5

$x$ ‍	$f (x)$ ‍	$h (x)$ ‍	$f^{'} (x)$ ‍	$h^{'} (x)$ ‍
$- 1$ ‍	$9$ ‍	$- 1$ ‍	$- 5$ ‍	$- 6$ ‍
$2$ ‍	$3$ ‍	$- 1$ ‍	$1$ ‍	$6$ ‍

G (x) = f (h (x))

G^{'} (2) =

¿Quieres más práctica? Intenta con este ejercicio.

Problema 6

Katy trató de encontrar la derivada de

(2 x^{2} - 4)^{3}

. Aquí está su trabajo:

Paso 1: sean

f (x) = x^{3}

g (x) = 2 x^{2} - 4

, entonces

(2 x^{2} - 4)^{3} = f (g (x))

Paso 2:

f^{'} (x) = 3 x^{2}

Paso 3: la derivada es

f^{'} (g (x))

\frac{d}{d x} [(2 x^{2} - 4)^{3}] = 3 (2 x^{2} - 4)^{2}

¿Es correcto el trabajo de Katy? Si no, ¿cuál es su error?

(Elección A)
El trabajo de Katy es correcto
(Elección B)
El paso 1 es incorrecto. $(2 x^{2} - 4)^{3}$ ‍ es igual a $g (f (x))$ ‍, no a $f (g (x))$ ‍
(Elección C)
El paso 2 es incorrecto. La derivada de $f$ ‍ no es $3 x^{2}$ ‍
(Elección D)
El paso 3 es incorrecto. La derivada no es $f^{'} (g (x))$ ‍

Error común: olvidar multiplicar por la derivada de la función interior

Un error común de los estudiantes es que solo derivan la función externa, lo que da como resultado

f^{'} (g (x))

, mientras que la derivada correcta es

f^{'} (g (x)) g^{'} (x)

Otro error común: calcular $f^{'} (g^{'} (x))$ ‍

Otro error común es derivar

f (g (x))

como la composición de las derivadas,

f^{'} (g^{'} (x))

Esto también es incorrecto. La función que debe estar dentro de

f^{'} (x)

g (x)

, no

g^{'} (x)

Recuerda: la derivada de $f (g (x))$ ‍ es $f^{'} (g (x)) g^{'} (x)$ ‍. No es $f^{'} (g (x))$ ‍ ni $f^{'} (g^{'} (x))$ ‍.

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NIWDERED07
Publicado hace hace 10 meses. Enlace directo a la publicación “Muy bueno este repaso de ...” de NIWDERED07
Muy bueno este repaso de compuestas, me ha ayudado aclarar dudas.
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