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5° Semestre Bachillerato

Unidad 3: Lección 1

Regla de la cadena

Regla de la cadena

La regla de la cadena nos dice cómo encontrar la derivada de una función compuesta. Repasa tu conocimiento sobre composiciones de funciones, y aprende a aplicar correctamente la regla de la cadena.
La regla de la cadena establece que:
start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, close bracket, equals, f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
Con ella podemos derivar funciones compuestas.

Breve repaso de funciones compuestas

Una función es compuesta si puede escribirse como f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis. En otras palabras, es una función dentro de una función, o sea una función de una función.
Por ejemplo, start color #1fab54, cosine, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54 es compuesta, porque si hacemos start color #1fab54, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54 y start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, end color #e07d10, entonces start color #1fab54, cosine, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, f, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54.
start color #e07d10, g, end color #e07d10 es la función dentro de start color #1fab54, f, end color #1fab54, por lo que decimos que start color #e07d10, g, end color #e07d10 es la función "interior" y start color #1fab54, f, end color #1fab54 la función "exterior".
start color #1fab54, start underbrace, cosine, left parenthesis, space, start color #e07d10, start overbrace, x, squared, end overbrace, start superscript, start text, i, n, t, e, r, i, o, r, end text, end superscript, space, end color #e07d10, right parenthesis, end underbrace, start subscript, start text, e, x, t, e, r, i, o, r, end text, end subscript, end color #1fab54
Por otra parte, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, dot, x, squared no es una función compuesta. Es el producto de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis y g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, pero ninguna de las funciones está dentro de la otra.
Problema 1
¿Es g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, natural log, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis una función compuesta? Si es así, ¿cuáles son la función "interna" y la función "externa"?
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Error común: no reconocer si la función es compuesta o no

Generalmente, la única manera de derivar una función compuesta es utilizando la regla de la cadena. Si no reconocemos que una función es compuesta y que debe aplicarse la regla de la cadena, no seremos capaces de derivar correctamente.
Por otro lado, aplicar la regla de la cadena en una función que no sea compuesta también dará por resultado una derivada incorrecta.
Especialmente con funciones trascendentes (por ejemplo, funciones trigonométricas y logarítmicas), los estudiantes a menudo confunden composiciones como natural log, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis con productos como natural log, left parenthesis, x, right parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis.
Problema 2
¿Es h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cosine, squared, left parenthesis, x, right parenthesis una función compuesta? Si es así, ¿cuáles son la función "interna" y la función "externa"?
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¿Quieres más práctica? Intenta resolver este ejercicio.

Error común: identificar equivocadamente las funciones interior y exterior

Incluso cuando un estudiante reconoce que una función es compuesta, podría tener mal las funciones interior y exterior. Esto seguramente terminaría en una derivada incorrecta.
Por ejemplo, en la función compuesta cosine, squared, left parenthesis, x, right parenthesis, la función exterior es x, squared y la función interior es cosine, left parenthesis, x, right parenthesis. Los alumnos se confunden a menudo con este tipo de función y creen que cosine, left parenthesis, x, right parenthesis es la función exterior.

Ejemplo resuelto de la aplicación de la regla de la cadena

Vamos a ver cómo se aplica la regla de la cadena al derivar h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 5, minus, 6, x, right parenthesis, start superscript, 5, end superscript. Observa que h es una función compuesta:
h(x)=( 56xinterior )5exteriorg(x)=56xfuncioˊn interiorf(x)=x5funcioˊn exterior\begin{aligned} h(x) &= \greenD{\underbrace{(~\goldD{\overbrace{5-6x}^{\text{interior}}~})^5}_{\text{exterior}}} \\\\ \goldD{g(x)}&=\goldD{5-6x} &&\text{función interior} \\\\ \greenD{f(x)}&=\greenD{x^5}&&\text{función exterior} \end{aligned}
Puesto que h es compuesta, podemos derivar mediante la regla de la cadena:
start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start color #1fab54, f, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54, close bracket, equals, start color #11accd, f, prime, left parenthesis, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, right parenthesis, end color #11accd, dot, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c
Descrita verbalmente, la regla dice que la derivada de la función compuesta es la función interior start color #e07d10, g, end color #e07d10 dentro de la derivada de la función exterior start color #11accd, f, prime, end color #11accd, multiplicada por la derivada de la función interior start color #ca337c, g, prime, end color #ca337c.
Antes de aplicar la regla, vamos a obtener las derivadas de las funciones interior y exterior:
g(x)=6f(x)=5x4\begin{aligned} \maroonD{g'(x)}&=\maroonD{-6} \\\\ \blueD{f'(x)}&=\blueD{5x^4} \end{aligned}
Ahora apliquemos la regla de la cadena:
ddx[f(g(x))]=f(g(x))g(x)=5(56x)46=30(56x)4\begin{aligned} &\dfrac{d}{dx}\left[f\Bigl(g(x)\Bigr)\right] \\\\ =&\blueD{f'\Bigl(\goldD{g(x)}\Bigr)}\cdot\maroonD{g'(x)} \\\\ =&\blueD{5(\goldD{5-6x})^4} \cdot \maroonD{-6} \\\\ =&-30(5-6x)^4 \end{aligned}

Practica la aplicación de la regla de la cadena

Problema 3.A
El conjunto de problemas 3 te llevará paso a paso en la diferenciación de sine, left parenthesis, 2, x, cubed, minus, 4, x, right parenthesis.
¿Cuáles son las funciones interior y exterior en sine, left parenthesis, 2, x, cubed, minus, 4, x, right parenthesis?
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Problema 4
start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, square root of, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, end square root, close bracket, equals, question mark
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¿Quieres más práctica? Intenta resolver este ejercicio.
Problema 5
xf, left parenthesis, x, right parenthesish, left parenthesis, x, right parenthesisf, prime, left parenthesis, x, right parenthesish, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
minus, 19minus, 1minus, 5minus, 6
23minus, 116
G, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, h, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis
G, prime, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

¿Quieres más práctica? Intenta con este ejercicio.
Problema 6
Katy trató de encontrar la derivada de left parenthesis, 2, x, squared, minus, 4, right parenthesis, cubed. Aquí está su trabajo:
Paso 1: sean start color #1fab54, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, end color #1fab54 y start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, squared, minus, 4, end color #e07d10, entonces start color #1fab54, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, 2, x, squared, minus, 4, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, cubed, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, f, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54.
Paso 2: start color #11accd, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, squared, end color #11accd
Paso 3: la derivada es start color #11accd, f, prime, left parenthesis, end color #11accd, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #11accd, right parenthesis, end color #11accd:
start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start color #1fab54, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, 2, x, squared, minus, 4, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, cubed, end color #1fab54, close bracket, equals, start color #11accd, 3, left parenthesis, end color #11accd, start color #e07d10, 2, x, squared, minus, 4, end color #e07d10, start color #11accd, right parenthesis, squared, end color #11accd
¿Es correcto el trabajo de Katy? Si no, ¿cuál es su error?
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Error común: olvidar multiplicar por la derivada de la función interior

Un error común de los estudiantes es que solo derivan la función externa, lo que da como resultado f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, mientras que la derivada correcta es f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis.

Otro error común: calcular f, prime, left parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis

Otro error común es derivar f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis como la composición de las derivadas, f, prime, left parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis.
Esto también es incorrecto. La función que debe estar dentro de f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis es g, left parenthesis, x, right parenthesis, no g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis.
Recuerda: la derivada de start color #1fab54, f, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54 es start color #11accd, f, prime, left parenthesis, end color #11accd, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #11accd, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c. No es start color #11accd, f, prime, left parenthesis, end color #11accd, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #11accd, right parenthesis, end color #11accd ni start color #11accd, f, prime, left parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, start color #11accd, right parenthesis, end color #11accd.