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5° Semestre Bachillerato

Curso: 5° Semestre Bachillerato > Unidad 3

Lección 1: Regla de la cadena

Demostrar la regla de la cadena

Demostración de la regla de la cadena para derivadas.
La regla de la cadena nos dice cómo encontrar la derivada de una función compuesta:
start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, close bracket, equals, f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
Para seguir el curso Cálculo AP no necesitas saber la demostración de esta regla, pero creemos que siempre que la demostración sea accesible, hay algo que aprender de ella. En general, siempre es bueno buscar algún tipo de prueba o justificación de los teoremas que aprendes.

En primer lugar, nos gustaría probar dos proposiciones menores que vamos a utilizar en la demostración de la regla de la cadena.

(A las proposiciones que se utilizan dentro de una demostración a menudo se les llama lemas.)

1. Si una función es diferenciable, entonces también es continua.

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Proof: Differentiability implies continuityVer la transcripción del video

2. Si la función u es continua en x, entonces delta, u, \to, 0 cuando delta, x, \to, 0.

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If function u is continuous at x, then Δu→0 as Δx→0 Ver la transcripción del video

¡Ahora estamos listos para probar la regla de la cadena!

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Extra: podemos usar la regla de la cadena y la regla del producto para probar la regla del cociente.

La regla del cociente nos dice cómo encontrar la derivada del cociente:
ddx[f(x)g(x)]=ddx[f(x)]g(x)f(x)ddx[g(x)][g(x)]2=f(x)g(x)f(x)g(x)[g(x)]2\begin{aligned} \dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]&=\dfrac{\dfrac{d}{dx}[f(x)]\cdot g(x)-f(x)\cdot\dfrac{d}{dx}[g(x)]}{[g(x)]^2} \\\\\\ &=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} \end{aligned}
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Quotient rule from product & chain rulesVer la transcripción del video

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