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5° Semestre Bachillerato

Curso: 5° Semestre Bachillerato > Unidad 3

Lección 1: Regla de la cadena
Matemáticas
5° Semestre Bachillerato
Regla de la Cadena, Derivación Implícita, Segunda Derivada y Teorema del Valor Medio
Regla de la cadena
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Estrategia para diferenciar funciones

Google Classroom
¡La diferenciación tiene muchas reglas distintas y hay tantas maneras de aplicarlas! Echemos un vistazo más amplio a la diferenciación y lleguemos a un flujo de trabajo que nos permita encontrar la derivada de cualquier función de forma eficiente y sin errores.
Muchos estudiantes de cálculo conocen sus reglas para derivar bastante bien, aunque se les dificulta aplicar la regla correcta en cada situación. Para resolver este problema, queremos aprender a categorizar las funciones rápidamente, saber qué regla aplicar e incluso volver a escribir las funciones en diferentes formas para facilitar su diferenciación.
Como referencia, aquí hay un resumen de las reglas para derivar más comunes:
NombreRegla
Potenciastart fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, x, start superscript, n, end superscript, close bracket, equals, n, dot, x, start superscript, n, minus, 1, end superscript
Sumastart fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start color #11accd, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, plus, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, close bracket, equals, start color #11accd, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, plus, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c
Productostart fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start color #11accd, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, dot, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, close bracket, equals, start color #11accd, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, plus, start color #11accd, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c
Cocientestart fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start fraction, start color #11accd, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, end fraction, close bracket, equals, start fraction, start color #11accd, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, minus, start color #11accd, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, divided by, open bracket, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, close bracket, squared, end fraction
Cadenastart fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start color #11accd, f, left parenthesis, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, right parenthesis, end color #11accd, close bracket, equals, start color #11accd, f, prime, left parenthesis, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, right parenthesis, end color #11accd, dot, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c
Nos vamos a centrar en las tres últimas reglas porque son generalmente las más difíciles de aplicar.

Localización de productos, cocientes y composiciones

La mayoría de las reglas para derivar nos dicen cómo diferenciar un tipo específico de función, por ejemplo, la regla para derivar sine, left parenthesis, x, right parenthesis, o la regla de la potencia.
Sin embargo, hay tres reglas muy importantes que son generalmente aplicables y dependen de la estructura de la función que estamos diferenciando. Estas son las reglas del producto, del cociente y de la cadena, así que mantente alerta para localizarlas. Puedes preguntarte: "¿se trata de un producto, un cociente o una composición de funciones?".
Producto: si ves algo así como start color #11accd, left parenthesis, x, squared, plus, 1, right parenthesis, end color #11accd, dot, start color #ca337c, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, quieres darte cuenta que se trata del producto de dos funciones. Entonces, puedes aplicar la regla del producto.
Cociente: del mismo modo, si ves algo así como start fraction, start color #11accd, square root of, x, end square root, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, end fraction, quieres darte cuenta que una función está divida entre otra y que se aplicará la regla del cociente.
Composición: por último, si ves una función como left parenthesis, 2, x, squared, minus, 4, right parenthesis, start superscript, 5, end superscript, trata de pensarla como una función interior y una función exterior:
start color #11accd, start underbrace, left parenthesis, space, start color #ca337c, start overbrace, 2, x, squared, minus, 4, end overbrace, start superscript, start text, i, n, t, e, r, i, o, r, end text, end superscript, space, end color #ca337c, right parenthesis, start superscript, 5, end superscript, end underbrace, start subscript, start text, e, x, t, e, r, i, o, r, end text, end subscript, end color #11accd
Este tipo de función se llama función compuesta, y puedes aplicar la regla de la cadena para encontrar su derivada.
Problema 1
Jake intentó encontrar la derivada de left parenthesis, x, squared, plus, 5, x, right parenthesis, dot, sine, left parenthesis, x, right parenthesis. Aquí está su trabajo:
=ddx[(x2+5x)⋅sin⁡(x)]=ddx[x2+5x]⋅ddx[sin⁡(x)]=(2x+5)⋅cos⁡(x)=2x⋅cos⁡(x)+5⋅cos⁡(x)\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{d}{dx}[(x^2+5x)\cdot\sin(x)] \\\\ &=\dfrac{d}{dx}[x^2+5x]\cdot\dfrac{d}{dx}[\sin(x)] \\\\ &=(2x+5)\cdot\cos(x) \\\\ &=2x\cdot\cos(x)+5\cdot\cos(x) \end{aligned}
¿Es correcto el trabajo de Jake? Si no es así, ¿cuál es su error?
Escoge 1 respuesta:

Error común: olvidar aplicar las normas del producto o del cociente

Recuerda: tomar el producto de las derivadas no es lo mismo que aplicar la regla del producto.
Del mismo modo, tomar el cociente de las derivadas no es lo mismo que aplicar la regla del cociente.
Problema 2
Leon intentó encontrar la derivada de sine, left parenthesis, x, squared, plus, 5, x, right parenthesis. Aquí está su trabajo:
=ddx[sin⁡(x2+5x)]=ddx[sin⁡(x)⋅(x2+5x)]=ddx[sin⁡(x)]⋅(x2+5x)+sin⁡(x)⋅ddx[x2+5x]=cos⁡(x)(x2+5x)+sin⁡(x)(2x+5)\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{d}{dx}[\sin(x^2+5x)] \\\\ &=\dfrac{d}{dx}[\sin(x)\cdot(x^2+5x)] \\\\ &=\dfrac{d}{dx}[\sin(x)]\cdot(x^2+5x)+\sin(x)\cdot\dfrac{d}{dx}[x^2+5x] \\\\ &=\cos(x)(x^2+5x)+\sin(x)(2x+5) \end{aligned}
¿Es correcto el trabajo de Leon? Si no es así, ¿cuál es su error?
Escoge 1 respuesta:

Error común: confundir la notación de la función con la multiplicación

Como vimos en el problema 2, start color #11accd, sine, left parenthesis, start color #ca337c, x, squared, plus, 5, end color #ca337c, right parenthesis, end color #11accd es una función compuesta, donde la función exterior es start color #11accd, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd y la función interior es start color #ca337c, x, squared, plus, 5, end color #ca337c. Sin embargo, algunas personas se confunden por la notación y piensas que es el producto start color #11accd, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, left parenthesis, x, squared, plus, 5, right parenthesis, end color #ca337c. Esta es una función totalmente diferente, y diferenciarla dará como resultado una derivada incorrecta.

Podemos volver a escribir funciones para facilitar la diferenciación

Seamos realistas: aplicar las reglas del producto, cociente y de la cadena puede significar un montón de trabajo. La regla del cociente es especialmente exigente. Así que ¿por qué haríamos todo ese trabajo si no fuera necesario? Los tres ejemplos siguientes destacan algunos productos y cocientes que pueden volver a escribirse para hacer más fácil la diferenciación.
Hacer que las expresiones sean más fáciles de diferenciar no solo es una cuestión de conveniencia; mientras más simple y más corta sea la diferenciación, ¡menor es la posibilidad de cometer un error en el camino!

A veces, podemos volver a escribir un producto como un polinomio simple

Podríamos aplicar la regla del producto para diferenciar left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, pero sería mucho más trabajo de lo necesario. En cambio, podemos simplemente desarrollar la expresión a x, squared, plus, 2, x, minus, 15 y luego aplicar la regla de la potencia para obtener la derivada: 2, x, plus, 2.
Para realmente transmitir el punto clave: mira cuánto más trabajo hubiera implicado usar la regla del producto:
Regla del productoRegla de la cadena
=ddx[(x+5)(x−3)]=ddx[x+5]⋅(x−3)+(x+5)⋅ddx[x−3]=(1)(x−3)+(x+5)(1)=x−3+x+5=2x+2\begin{aligned}&\phantom{=}\dfrac{d}{dx}[(x+5)(x-3)]\\\\&=\dfrac{d}{dx}[x+5]\cdot (x-3)+(x+5)\cdot \dfrac{d}{dx}[x-3]\\\\&=(1)(x-3)+(x+5)(1)\\\\&=x-3+x+5\\\\&=2x+2\end{aligned}=ddx[(x+5)(x−3)]=ddx[x2+2x−15]=2x+2\begin{aligned}&\phantom{=}\dfrac{d}{dx}[(x+5)(x-3)]\\\\&=\dfrac{d}{dx}[x^2+2x-15]\\\\&=2x+2\end{aligned}
Para ser claros: ambas formas son correctas, pero al usar la regla de la potencia tardas menos tiempo y tienes mayores posibilidades de evitar errores de cálculo en el camino.
Problema 3
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 3, minus, 8, x, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, minus, 7, right parenthesis
¿Cómo volver a escribirías f, left parenthesis, x, right parenthesis para que pueda diferenciarse con la regla de la potencia?
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De manera similar, algunos problemas de la regla del cociente pueden volver a escribirse para utilizar la regla de la potencia

Podríamos aplicar la regla del cociente para encontrar la derivada de start fraction, x, start superscript, 6, end superscript, minus, 8, x, cubed, divided by, 2, x, squared, end fraction. Sin embargo, sería más fácil primero dividir, obtener 0, point, 5, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 4, x y después aplicar la regla de la potencia para obtener la derivada, que es 2, x, cubed, minus, 4. Solamente tenemos que recordar que la función no está definida para x, equals, 0 y, por lo tanto, tampoco su derivada.
Si lo hacemos de la manera larga, con la regla del cociente, obtenemos el mismo resultado. Sin embargo, tenemos más oportunidades de hacer algún tipo de error en el camino.
No todos los cocientes pueden volver a escribirse de esta manera. Por ejemplo, start fraction, x, squared, plus, 5, x, minus, 14, divided by, x, minus, 7, end fraction no puede simplificarse como un polinomio.
Recuerda: siempre puedes utilizar este método para cocientes donde el denominador es un monomio.
Cuando el denominador es un polinomio con más de un término, puedes simplificarlo usando la factorización y cancelación de términos comunes.
No olvides considerar el dominio al volver a escribir cocientes.
Problema 4
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, start superscript, 5, end superscript, minus, 2, x, cubed, minus, 8, x, squared, divided by, x, end fraction
¿Cómo volver a escribirías f, left parenthesis, x, right parenthesis de tal forma que pueda derivarse utilizando la regla de la potencia?
Supón que start text, x, end text, does not equal, start text, 0, end text.
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Último ejemplo: vuelve a escribir un cociente como un producto

Para muchas personas, es más fácil recordar la regla del producto que la regla del cociente. Afortunadamente, siempre podemos volver a escribir un cociente como un producto.
Supongamos que hemos querido diferenciar start fraction, square root of, x, plus, 3, end square root, divided by, x, start superscript, 4, end superscript, end fraction aunque no podíamos recordar el orden de los términos en la regla del cociente. Primero podríamos separar el numerador y el denominador en diferentes factores y luego volver a escribir el denominador con un exponente negativo, así que no tendríamos cocientes.
x+3x4=x+3⋅1x4=x+3⋅x−4\begin{aligned}\dfrac{\sqrt{x+3}}{x^4}&=\sqrt{x+3}\cdot \dfrac{1}{x^4} \\\\ &=\sqrt{x+3}\cdot x^{-4} \end{aligned}
Ahora estaríamos listos para usar nuestra regla del producto. (Nota: también usaríamos la regla de la cadena para encargarnos del interior de la función de raíz cuadrada).
Problema 5
h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, 3, x, end fraction
¿Cómo volver a escribirías h, left parenthesis, x, right parenthesis para que pueda diferenciarse con la regla del producto?
Escoge 1 respuesta:

¿Quieres más práctica? Intenta este ejercicio.
Un problema común: si te sientes incómodo con el proceso, puede ser difícil convertir radicales o recíprocos en potencias (ejemplos: square root of, x, end square root, equals, x, start superscript, 1, slash, 2, end superscript y start fraction, 1, divided by, x, cubed, end fraction, equals, x, start superscript, minus, 3, end superscript). Si quieres práctica adicional con esto, revisa los siguientes ejercicios:

Resumen

Ser hábil para calcular derivadas requiere saber qué regla aplicar y cuándo aplicarla. También es necesario ver oportunidades para volver a escribir expresiones y facilitar la diferenciación.
Aquí hay un diagrama de flujo que resume este proceso:
Un diagrama de flujo resume 3 pasos como sigue. Paso 1. Categoriza la función. Las 3 categorías son producto o cociente, función compuesta y función básica. Algunos ejemplos de funciones básicas son x elevado a la potencia n, seno de x, coseno de x, e elevado a la potencia de x y el logaritmo natural de x. Si la función es un producto o un cociente, hazte la pregunta: ¿puedes cambiar la función a otra forma que sea más fácil de derivar? Si lo es, cambia la función a algo que sea más fácil de derivar, después regresa al paso 1. Si no, continua al paso 2. Si la función es compuesta o una función básica, continua al paso 2. El paso 2 es derivar utilizando la regla para derivar apropiada.

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