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5° Semestre Bachillerato

Curso: 5° Semestre Bachillerato > Unidad 3

Lección 1: Regla de la cadena

Estrategia para diferenciar funciones

¡La diferenciación tiene muchas reglas distintas y hay tantas maneras de aplicarlas! Echemos un vistazo más amplio a la diferenciación y lleguemos a un flujo de trabajo que nos permita encontrar la derivada de cualquier función de forma eficiente y sin errores.

Muchos estudiantes de cálculo conocen sus reglas para derivar bastante bien, aunque se les dificulta aplicar la regla correcta en cada situación. Para resolver este problema, queremos aprender a categorizar las funciones rápidamente, saber qué regla aplicar e incluso volver a escribir las funciones en diferentes formas para facilitar su diferenciación.

Como referencia, aquí hay un resumen de las reglas para derivar más comunes:

Nombre	Regla
Potencia	$\frac{d}{d x} [x^{n}] = n \cdot x^{n - 1}$ ‍
Suma	$\frac{d}{d x} [f (x) + g (x)] = f^{'} (x) + g^{'} (x)$ ‍
Producto	$\frac{d}{d x} [f (x) \cdot g (x)] = f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)$ ‍
Cociente	$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}] = \frac{f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x)}{[g (x)]^{2}}$ ‍
Cadena	$\frac{d}{d x} [f (g (x))] = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$ ‍

Nos vamos a centrar en las tres últimas reglas porque son generalmente las más difíciles de aplicar.

Localización de productos, cocientes y composiciones

La mayoría de las reglas para derivar nos dicen cómo diferenciar un tipo específico de función, por ejemplo, la regla para derivar

\sin (x)

, o la regla de la potencia.

Sin embargo, hay tres reglas muy importantes que son generalmente aplicables y dependen de la estructura de la función que estamos diferenciando. Estas son las reglas del producto, del cociente y de la cadena, así que mantente alerta para localizarlas. Puedes preguntarte: "¿se trata de un producto, un cociente o una composición de funciones?".

Producto: si ves algo así como

(x^{2} + 1) \cdot \sin (x)

, quieres darte cuenta que se trata del producto de dos funciones. Entonces, puedes aplicar la regla del producto.

Cociente: del mismo modo, si ves algo así como

\frac{\sqrt{x}}{\cos (x)}

, quieres darte cuenta que una función está divida entre otra y que se aplicará la regla del cociente.

Composición: por último, si ves una función como

(2 x^{2} - 4)^{5}

, trata de pensarla como una función interior y una función exterior:

\underset{exterior}{\underset{⏟}{(\overset{interior}{\overset{⏞}{2 x^{2} - 4}})^{5}}}

Este tipo de función se llama función compuesta, y puedes aplicar la regla de la cadena para encontrar su derivada.

Problema 1

Jake intentó encontrar la derivada de

(x^{2} + 5 x) \cdot \sin (x)

. Aquí está su trabajo:

\begin{aligned} \frac{d}{d x} [(x^{2} + 5 x) \cdot \sin (x)] \\ = \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x] \cdot \frac{d}{d x} [\sin (x)] \\ = (2 x + 5) \cdot \cos (x) \\ = 2 x \cdot \cos (x) + 5 \cdot \cos (x) \end{aligned}

¿Es correcto el trabajo de Jake? Si no es así, ¿cuál es su error?

(Elección A)
El trabajo de Jake es correcto
(Elección B)
El trabajo de Jake es incorrecto. No aplicó la regla de la cadena apropiadamente
(Elección C)
El trabajo de Jake es incorrecto. No aplicó la regla del producto apropiadamente
(Elección D)
El trabajo de Jake es incorrecto. No derivó bien $\sin (x)$ ‍

[Muéstrame el método correcto.]

Error común: olvidar aplicar las normas del producto o del cociente

Recuerda: tomar el producto de las derivadas no es lo mismo que aplicar la regla del producto.

Del mismo modo, tomar el cociente de las derivadas no es lo mismo que aplicar la regla del cociente.

Problema 2

Leon intentó encontrar la derivada de

\sin (x^{2} + 5 x)

. Aquí está su trabajo:

\begin{aligned} \frac{d}{d x} [\sin (x^{2} + 5 x)] \\ = \frac{d}{d x} [\sin (x) \cdot (x^{2} + 5 x)] \\ = \frac{d}{d x} [\sin (x)] \cdot (x^{2} + 5 x) + \sin (x) \cdot \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x] \\ = \cos (x) (x^{2} + 5 x) + \sin (x) (2 x + 5) \end{aligned}

¿Es correcto el trabajo de Leon? Si no es así, ¿cuál es su error?

(Elección A)
El trabajo de Leon es correcto
(Elección B)
El trabajo de Leon es incorrecto. Él aplicó la regla del producto en lugar de aplicar la regla de la cadena
(Elección C)
El trabajo de Leon es incorrecto. No aplicó la regla del producto apropiadamente
(Elección D)
El trabajo de Leon es incorrecto. No derivó bien $x^{2} + 5 x$ ‍

[Muéstrame el método correcto.]

Error común: confundir la notación de la función con la multiplicación

Como vimos en el problema 2,

\sin (x^{2} + 5)

es una función compuesta, donde la función exterior es

\sin (x)

y la función interior es

x^{2} + 5

. Sin embargo, algunas personas se confunden por la notación y piensas que es el producto

\sin (x) (x^{2} + 5)

. Esta es una función totalmente diferente, y diferenciarla dará como resultado una derivada incorrecta.

Podemos volver a escribir funciones para facilitar la diferenciación

Seamos realistas: aplicar las reglas del producto, cociente y de la cadena puede significar un montón de trabajo. La regla del cociente es especialmente exigente. Así que ¿por qué haríamos todo ese trabajo si no fuera necesario? Los tres ejemplos siguientes destacan algunos productos y cocientes que pueden volver a escribirse para hacer más fácil la diferenciación.

Hacer que las expresiones sean más fáciles de diferenciar no solo es una cuestión de conveniencia; mientras más simple y más corta sea la diferenciación, ¡menor es la posibilidad de cometer un error en el camino!

A veces, podemos volver a escribir un producto como un polinomio simple

Podríamos aplicar la regla del producto para diferenciar

(x + 5) (x - 3)

, pero sería mucho más trabajo de lo necesario. En cambio, podemos simplemente desarrollar la expresión a

x^{2} + 2 x - 15

y luego aplicar la regla de la potencia para obtener la derivada:

2 x + 2

Para realmente transmitir el punto clave: mira cuánto más trabajo hubiera implicado usar la regla del producto:

Regla del producto	Regla de la cadena
$\begin{aligned} \frac{d}{d x} [(x + 5) (x - 3)] \\ = \frac{d}{d x} [x + 5] \cdot (x - 3) + (x + 5) \cdot \frac{d}{d x} [x - 3] \\ = (1) (x - 3) + (x + 5) (1) \\ = x - 3 + x + 5 \\ = 2 x + 2 \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} \frac{d}{d x} [(x + 5) (x - 3)] \\ = \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 15] \\ = 2 x + 2 \end{aligned}$ ‍

Para ser claros: ambas formas son correctas, pero al usar la regla de la potencia tardas menos tiempo y tienes mayores posibilidades de evitar errores de cálculo en el camino.

Problema 3

f (x) = (3 - 8 x) (2 x - 7)

¿Cómo volver a escribirías $f (x)$ ‍ para que pueda diferenciarse con la regla de la potencia?

De manera similar, algunos problemas de la regla del cociente pueden volver a escribirse para utilizar la regla de la potencia

Podríamos aplicar la regla del cociente para encontrar la derivada de

\frac{x^{6} - 8 x^{3}}{2 x^{2}}

. Sin embargo, sería más fácil primero dividir, obtener

0.5 x^{4} - 4 x

y después aplicar la regla de la potencia para obtener la derivada, que es

2 x^{3} - 4

. Solamente tenemos que recordar que la función no está definida para

x = 0

y, por lo tanto, tampoco su derivada.

Si lo hacemos de la manera larga, con la regla del cociente, obtenemos el mismo resultado. Sin embargo, tenemos más oportunidades de hacer algún tipo de error en el camino.

[Muéstrame cómo se hace con la regla del cociente.]

No todos los cocientes pueden volver a escribirse de esta manera. Por ejemplo,

\frac{x^{2} + 5 x - 14}{x - 7}

no puede simplificarse como un polinomio.

Recuerda: siempre puedes utilizar este método para cocientes donde el denominador es un monomio.

Cuando el denominador es un polinomio con más de un término, puedes simplificarlo usando la factorización y cancelación de términos comunes.

No olvides considerar el dominio al volver a escribir cocientes.

Problema 4

f (x) = \frac{x^{5} - 2 x^{3} - 8 x^{2}}{x}

¿Cómo volver a escribirías $f (x)$ ‍ de tal forma que pueda derivarse utilizando la regla de la potencia?
Supón que $x \neq 0$ ‍.

Último ejemplo: vuelve a escribir un cociente como un producto

Para muchas personas, es más fácil recordar la regla del producto que la regla del cociente. Afortunadamente, siempre podemos volver a escribir un cociente como un producto.

Supongamos que hemos querido diferenciar

\frac{\sqrt{x + 3}}{x^{4}}

aunque no podíamos recordar el orden de los términos en la regla del cociente. Primero podríamos separar el numerador y el denominador en diferentes factores y luego volver a escribir el denominador con un exponente negativo, así que no tendríamos cocientes.

\begin{aligned} \frac{\sqrt{x + 3}}{x^{4}} & = \sqrt{x + 3} \cdot \frac{1}{x^{4}} \\ = \sqrt{x + 3} \cdot x^{- 4} \end{aligned}

Ahora estaríamos listos para usar nuestra regla del producto. (Nota: también usaríamos la regla de la cadena para encargarnos del interior de la función de raíz cuadrada).

Problema 5

h (x) = \frac{\sin (x)}{3 x}

¿Cómo volver a escribirías $h (x)$ ‍ para que pueda diferenciarse con la regla del producto?

¿Quieres más práctica? Intenta este ejercicio.

Un problema común: si te sientes incómodo con el proceso, puede ser difícil convertir radicales o recíprocos en potencias (ejemplos:

\sqrt{x} = x^{1 / 2}

\frac{1}{x^{3}} = x^{- 3}

). Si quieres práctica adicional con esto, revisa los siguientes ejercicios:

Resumen

Ser hábil para calcular derivadas requiere saber qué regla aplicar y cuándo aplicarla. También es necesario ver oportunidades para volver a escribir expresiones y facilitar la diferenciación.

Aquí hay un diagrama de flujo que resume este proceso:

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