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5° Semestre Bachillerato

Unidad 3: Lección 1

Regla de la cadena

Regla de la cadena

La regla de la cadena establece que la derivada de f(g(x)) es f'(g(x))⋅g'(x). En otras palabras, nos ayuda a derivar *funciones compuestas*. Por ejemplo, sin(x²) es una función compuesta porque puede construirse como f(g(x)) para f(x)=sin(x) y g(x)=x². Con la regla de la cadena y las derivadas de sin(x) y x², podemos entonces encontrar la derivada de sin(x²). Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

en este vídeo hablaremos de uno de los principios más importantes del cálculo y que usaremos cada vez que tratemos de encontrar derivadas medianamente complejas nos referimos a la regla de la cadena y al principio nos puede parecer un poco complejo pero conforme veamos más ejemplos nos daremos cuenta de que no es tan complejo como pensábamos digamos que tenemos la función hdx y es igual a seno de x al cuadrado que también podemos escribir como seno cuadrado de x pero es más claro expresarlo de la primera forma queremos saber a que es igual h prima de x que también podemos expresar como la derivada de h con respecto a x para calcular esto vamos a usar la regla de la cadena siempre vamos a usar la regla de la cadena cuando nos encontremos con composiciones de funciones más adelante entenderemos por qué se llaman sí ahora imaginemos que queremos encontrar la derivada con respecto a x d es decir aplicamos el operador derivada de x cuadrada a que es igual pues es igual a 2x lo que hemos visto muchísimas veces ya que es igual la derivada con respecto aa de a cuadrada pues es el mismo resultado solo reemplazamos la equis con la a esto es igual a 2a ahora haremos algo que puede parecer extraño vamos a calcular la derivada con respecto a seno de x de seno de x al cuadrado bueno pues hacemos lo mismo que hicimos acá arriba con las equis y las as pero ahora lo reemplazamos con seno de x esto es igual a dos veces la cosa con respecto a la cual estamos derivando acá fue con respecto a x acá fue con respecto aa y aquí es con respecto a seno de x es decir que es igual a 2 por seno de x la regla de la cadena nos dice que esta derivada va a ser igual a la derivada de esta función externa al cuadrado con respecto al seno de x es igual a 2 por seno de x podemos verlo como la derivada de la función externa con respecto a la función interna tratamos a seno de x como si fuera una equis y eso sería 2x esto lo multiplicamos por la derivada de seno de x que resaltamos en otro color con respecto a x vamos a escribirla por acá no es tan difícil la derivada con respecto a x dc de x es cosa de x esto lo multiplicamos por coseno tx así acabamos de aplicar la regla de la cadena es la derivada de la función externa con respecto a la función interna que en el ejemplo vimos que es la derivada de seno de x al cuadrado con respecto a seno de x y esto lo multiplicamos por la derivada de la función interna con respecto a x que en este caso es la derivada de seno de x con respecto a x vamos a anotarlo para que quede más claro esta es la derivada de seno de x al cuadrado con respecto a seno de x y esto lo vamos a multiplicar por la derivada de seno de x con respecto a x aquí es donde tenemos que desarrollar la intuición y podemos tratarlo como si fueran números esta anotación las hace ver como fracciones y si seguimos esta idea podríamos cancelar esto con esto otro esto no es algo formal pero nos ayuda a darnos una idea de lo que ocurre al final nos quedamos con la derivada de esta función al cuadrado con respecto a x lo anotamos nos quedamos con la derivada de nuestra función original con respecto a x que es exactamente a lo que se refiere de hd x esto de aquí es la función h original quizá esto le siga pareciendo algo complicado pero en los siguientes vídeos veremos más ejemplos y después trataremos de analizar esto de forma abstracta con eso terminamos y nos vemos en el siguiente vídeo