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Transcripción del video

digamos que tenemos la función efe the x igual a kossen o dx al cubo eso también se puede escribir de esta otra forma como coseno de equis entre paréntesis elevado a la tercera potencia y queremos encontrar efe prime de x lo que vamos a hacer es aplicar la regla de la cadena y vamos a verlo un poco con más profundidad para tratar de hacer una conexión entre lo que estamos viendo aquí y lo que puede llegar a ver en tus libros de texto de cálculo si es que si tenemos una función que está definida esencialmente como la composición de dos funciones y observa aquí en esta función estamos elevando una cosa a la tercera potencia lo que no estamos relevando simplemente una x en la tercera potencia sino una función de x también lo podemos ver de esta otra forma estamos tomando la función coseno de x todo este coseno de x no estamos metiendo en otra función que lo que hace es elevarlo a la tercera potencia y también lo podemos explicar de esta otra forma tomamos una x como entrada de la función coseno que ya que tenemos la función coseno y ponemos la x como entrada y eso como resultado nos da coseno dx y luego a eso lo vamos a usar como entrada en otra función que lo que hace es simplemente tomar toda la entrada y elevarla a la tercera potencia y entonces qué es lo que vamos a obtener bueno pues aquí tenemos que elevar a la tercera potencia pero qué es lo que estamos elevando la tercera potencia pues estamos recibiendo como entrada a kossen o dx entonces qué le vamos a kossen o de x a la tercera potencia por lo que ésta es una función compuesta para esta función azul le podemos llamar la función b ya ésta le podemos llamar la función así es que estamos tomando la x y dándosela como entrada a la función uu por lo que esto de aquí es u de x y luego estamos tomando todo esto pude x como la entrada de la función b y entonces esta salida tiene que ser ve de la entrada pero la entrada escudé x así es que aquí tenemos be the who the x esto también lo podemos escribir de esta otra forma cómo ve de ccoo seno de x por qué eeuu es la función coseno ive es una función que le des la entrada que le des la eleva a la tercera potencia si es que si le diéramos simplemente una x vdx sería x al cubo pero aquí le estamos dando coces 9 x entonces tenemos cosas 9 x el cubo y ahora sí tenemos una función compuesta que se puede describir como la composición de dos funciones como hicimos por acá entonces podemos aplicar la regla de la cadena aquí estamos diciendo que efe de x se puede describir como la composición de de con look y ya sé que no estoy repitiendo muchas veces pero cada vez lo explicó un poquito diferente porque es la primera vez que ves estos temas puede llegar a ser un poco complicado y difícil además cada vez entiende es con mayor profundidad qué es lo que realmente está pasando por aquí entonces vamos a seguir escribiendo esto de distintas formas efe dx es la composición debe con eeuu entonces se puede describir cómo ve compuesta con cv y evaluada en x y la regla de la cadena nos dice que si tenemos una situación como ésta entonces la derivada efe prima de x y esto es algo que va a saber tal cual en tus libros de texto de cálculo la derivada de fd x es igual a la derivada con respecto a v x o sea b prime evaluada en eeuu de x por la derivada de ud x con respecto a x o sea uu prima evaluada en x y listo esto de aquí es una de las expresiones de la regla de la cadena pero ahora como la evaluamos en este caso en particular bueno podemos empezar por usar los mismos colores esta función que simplemente eleva sus entradas al cubo ya vamos a colorear de azul ahora efe prima de x otra forma de expresar la connotación diferencial también voy a escribir las varias veces con la anotación diferencial pero podemos empezar por aquí como la derivada de la función b con respecto a la función cv y de hecho eso es justo lo que tenemos aquí en este término pero nos falta multiplicar por la derivada de eeuu con respecto a x que jackie tenemos que poner la derivada de cv y esta parte es justo este término de aquí en algunos libros te lo vas a encontrar de esta forma con la anotación diferencial y en otros de esta forma pero éste terminó de aquí es justo este término de acá y este otro término es este término de acá pero bueno ahora sí vamos a evaluar estas cosas seguramente ya estás un poco aburrido de hablar en puros términos abstractos así es que esto va a ser igual a por aquí vamos a tenerla diferencial de una función con respecto a otra y vamos a estar multiplicando por una diferencial con respecto a una variable pero bueno aquí estamos tomando la diferencial de la función b con respecto a eeuu pero aquí la función b evaluada en u es el coche no dx elevado al cubo lleno de x elevado al cubo bob y estamos derivando con respecto al coste no de x y queremos multiplicar esto por la derivada de eeuu con respecto a x pero eeuu es el cose no x y estamos derivando con respecto a x y bueno esto ya lo hemos visto antes nosotros ya sabemos que la derivada con respecto a x de coz en o de x nosotros ya sabemos que está derivada es igual a menos seno de x así es que esta parte de aquí nosotros ya sabemos que es igual a menos seno de x tal vez es más acostumbrado a ver esta anotación de esta forma realmente quieren decir lo mismo a mí me gusta más esta porque me queda más claro que estamos derivando la función coseno dx con respecto a x simplemente es notación pero ahora que es esta cosa que tenemos aquí bueno pues lo podemos ver de esta otra forma si yo tuviera la derivada con respecto de x de x a la tercera potencia si tuviéramos esto y bueno déjame pongo por aquí unos paréntesis para que esté un poquito más claro esto sería igual a tres por equis elevado a la segunda potencia ahora la noción general es que si estoy derivando algo elevado a la 3 con respecto a ese algo y por cierto es que algo puede ser cualquier cosa podría ser color amarillo de hecho ni siquiera tiene por qué ser una x puede ser una pelotita por aquí estamos haciendo la derivada de el círculo naranja elevado a la tercera potencia con respecto al círculo naranja pues eso va a ser igual a tres por el círculo naranja elevado a la segunda potencia aunque bueno aquí estos círculos son amarillos verdad entonces vamos a ponerlos de color naranja estamos derivando el círculo naranja elevado a la tercera potencia con respecto al círculo naranja y eso es igual a tres por el círculo naranja elevado al cuadrado y entonces si en lugar de círculo naranja tenemos coseno bx y estamos derivando el coce no dx elevado a la 3 con respecto al coste no bx entonces eso nos va a quedar igual a tres por el coce no de x elevado a la segunda potencia elevado a la segunda potencia y observa aquí lo que estamos haciendo es derivar a la función exterior con respecto a la función interior entonces vamos a obtener lo mismo que tendríamos si aquí tuviéramos una equis pero en lugar de una x tenemos cosas no bx por lo que en lugar de ser 3 x x al cuadrado ahora tiene que ser tres por coseno dx al cuadrado sólo sustituimos x por cosano bx y luego la regla de la cadena nos dice que si lo que queremos es obtener la derivada con respecto a x sólo nos falta multiplicar por la deriva de kossen o dx con respecto a x como aquí y ya casi terminamos ya casi encontramos la derivada la derivada es esto por esto efe prima de x es igual a menos -3 3 por seno de x seno de x por coseno dx al cuadrado coseno de x al cuadrado y listo ya terminamos aquí estuvo un poquito largo porque también estábamos explicando cómo funcionaba la regla de la cadena pero una vez que te acostumbras a ella lo puedes hacer rapidísimo lo único que tienes que hacer es derivar a la función exterior con respecto a la función interior que tratará la función interior como si fuera simplemente una x y entonces lo que nos queda es tres por la función de adentro al cuadrado coseno bx al cuadrado y luego tenemos que multiplicar por la derivada de la función de adentro con respecto a x o sea simplemente tenemos que encontrar la derivada de kossen o bx pero eso es menos lleno de x y listo ahora sí ya terminamos