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Transcripción del video

lo que quiero hacer en este vídeo es explorar la idea de sacar la derivada de una función exponencial ya hemos visto que la derivada con respecto a x de la función a la x es lo mismo que ella misma es lo mismo que a la x lo cual es una cosa muy increíble una de las tantas cosas que hacen aem bastante especial piensen que cuando tengan una exponencial con esta base como mh la derivada es esto mismo la pendiente en cualquier punto es igual al valor de esa misma función pero ahora vamos a empezar a analizar la derivada cuando tengamos otras bases de alguna manera queremos encontrar cuál es la derivada con respecto a x y ahora me voy a tomar a amd elevado a la x donde a puede ser cualquier número hay alguna manera de encontrar esto y tal vez podamos obtener la utilizan nuestro conocimiento de que la derivada con respecto a x de a la x es a la x habrá forma de utilizar un poco de álgebra y propiedades de los exponentes para volver a escribir esta expresión pero que el lugar de tener como base a amd tengamos una expresión con base bien aquí lo importante va a ser recordar que podemos ver a cómo e elevado a logaritmo natural de amd ahora sí esto no es obvio para ustedes de verdad quiero que lo piensan un poco porque déjame ponerlo a kim cuales el logaritmo natural de a el logaritmo natural de amd es la potencia que necesitas para elevar a y obtener a entonces siguiendo esta lógica aquí tienes a es igual ha elevado al lugar es natural de amd es decir aquí tengo a e elevado a la potencia a la que tengo que llevar para obtener a y es por eso que obtenemos aa así que en verdad piensa un poco en esto no solamente quiero que lo aceptes común hecho de femme debería tener sentido para ti y que esto sale realmente de la definición básica de logaritmos y ahora si ya podemos sustituir a amd con toda su expresión de aqim si a es lo mismo que en elevado al lugar y es natural de amd entonces esto va a ser igual a la derivada con respecto a ekiza de eeuu ha elevado a su vez a la potencia logares natural de amd ya esto hay que elevarlo a la potencia x y ahora usando una de las propiedades de los exponentes esto va a ser igual a recuerdan llevamos algo a un exponente y luego le vamos todo eso a otro exponente eso es lo mismo que elevar nuestra base original al producto de esos dos exponentes entonces esto va a ser lo mismo que la derivada con respecto a x de mh elevado a la potencia lugar es natural de amd y esto por equis y ahora podemos usar la regla de la cadena para evaluar esta derivada entonces lo que haremos será primero sacar la derivada de la función de afuera es decir elevado al lugar es natural de amd por equis con respecto a la función de adentro que es el logaritmo natural de amd por equis entonces esto va a ser igual pues ha elevado al lugar es natural de a por equis elevado al hogar es natural de a por equis y luego sacaremos la derivada de la función de adentro con respecto a x y tal vez de manera inmediata no te salten que el lugar es natural de amd sea solamente un número pero lo es observa que si la deriva de 3 x es simplemente 3 entonces la derivada del hogar y es natural de amd por equis sólo va a ser el lugar y es natural de amd es solamente un número así que multiplicaremos a todo esto por el logaritmo natural de a entonces esto nos va a dar el logaritmo natural de amd que multiplica ha elevado a logaritmo natural de anv por equis pero lo voy a escribir así que voy a escribir como el lugar es natural de amd por el elevado al lugar es natural de am eat esto ha elevado a la x y es que ahora quiero que recuerdes que todo esto que tenemos aquí es simplemente ha elevado la x entonces estoy aquí se va a reducir am el logaritmo natural de amd que multiplican a amd elevado a la x lo cual es un resultado bastante estupendo entonces si está sacando la derivada de ella la x eso será solamente ea la x pero ahora sabemos que se está sacando la derivada de a elevado la x esto va a ser simplemente el logaritmo natural de amd que multiplica a a la x y ahora podemos usar este resultado para sacar las derivadas de este tipo de expresiones con bases diferentes aem así que hagamos un ejemplo imagínate que queremos encontrar la derivada con respecto a x de 8 por 3 elevado la x a que será esto bueno pues esto va a ser igual a 8 por la derivada de tres elevado la x pero si nos basamos en lo que acabamos obtener esto va a ser igual al lugar y natural de nuestra base es decir el lugar es natural de tres que multiplican a 3 elevado a la x entonces esto va a ser igual a 8 por el logaritmo actual de 3 y todo esto está multiplicando a 3 elevado la x