Ejemplo resuelto: derivada de sec(3π/2-x) con la regla de la cadena

digamos que tenemos la función game es igual a la secante pero no nos vamos a tomar la secante de x vamos a tomarnos la secante de tres primeros esto menos x y lo que queremos es averiguar cuánto vale la derivada de james con respecto a x en x igual y bueno hagamos x igual a pi cuartos y como siempre pausa el vídeo y ver si puedes averiguarlo por tu cuenta bien como puedes ver aquí tenemos una función compuesta estamos sacando la secante no sólo de x sino de una función de esta expresión que tenemos aquí así que por ejemplo si ustedes llaman a esto que tenemos aquí de x pongamos el nombre de x vamos a notarlo por aquí de x va a ser igual a 3 y medios 3 pig medios menos x y bueno si tenemos un x podemos ver cuánto vale prima de x y esto va a ser igual a la derivada de tres primeros bueno la derivada constante 0 se elimina y después la derivada de menos x lo cual es menos 1 y bueno esto lo puedes ver como una regla de las potencias esto es lo mismo que aquí tenemos como exponente a 1 lo bajamos y me queda menos 1 que multiplican a x elevado a la potencia uno menos uno es decir a la potencia cero pero x elevado la potencia cero es 1 por lo tanto simplemente me quedan menos 1 así que podríamos ver esto como la derivada de la secante con respecto a de x por la derivada de de x con respecto a x y podrías decir bueno que hay con la derivada de la secante y bueno en otros vídeos lo que hicimos fue obtener esa derivada de hecho podría volver a derivar lo secante de x es simplemente 1 / coseno de x y así que la derivada sale directamente de la regla de la cadena de todas maneras voy a escribirlo en otros vídeos probamos que la derivada con respecto a x de esta función secante de x esto era exactamente igual que el seno de x el seno de x entre el coseno cuadrado de de lujo así que si estamos tratando de encontrar la derivada de james con respecto a x va a ser igual a la derivada de la secante con respecto a por la derivada de con respecto a x así que vamos a hacerlo la derivada de james con respecto a x esto va a ser igual a la derivada de la secante con respecto a 1 y bueno tenemos la derivada de la secc ante esto es lo mismo que el seno de la función de x déjame poner la sim de x a bien podrías poner aquí la función de x la función de x que es esta que tengo aquí pero lo voy a hacer de esta manera para que sea todo mucho más claro para ti esto dividido entre el coche en un cuadrado de esta función de x dejar en poner otra vez aquí de x ok y a esto hay que multiplicarlo por la derivada de la derivada de 1 con respecto a x entonces tenemos la derivada de la secante con respecto a de x y luego la regla de la cadena nos dice que esto hay que multiplicarlo por la derivada de un con respecto a esta derivada y aquí va a ser igual esto bueno pues simplemente podemos sustituir bueno pues esto va a ser igual a y tenemos el seno de esta función de x que ahora voy a escribir 3 medios - x ok esto entre el coche no cuadrado el coseno cuadrados de esta misma función déjame ponerlo de nuevo tres y medios menos x ok y a todo esto hay que multiplicarlo por un prima de x que ya vimos que es menos uno también puede haber puesto el signo negativo aquí pero lo voy a hacer en el siguiente paso para que todo quede mucho más claro ahora lo importante es que quiero encontrar estas derivadas cuando me x vale y cuartos así que en lugar de x voy a poner mi cuartos pi cuartos y aquí también voy a poner pin cuartos así que cuánto va a ser esto bueno esto va a ser igual el seno el seno y ahora cuánto es tres primeros menos pi cuartos bueno eso lo puedo hacer aquí tres primeros tres primeros es lo mismo que seis cuartos si sacamos un denominador común menos y cuartos menos mil cuartos esto es lo mismo que cinco cuartos de lujo entonces me quedan el seno de cinco fin cuartos ok esto dividido a su vez entre el coseno cuadrado de lo mismo 5 p cuartos así que lo voy a poner aquí 5 cuartos de lujo y todo esto por menos 1 así que en lugar de poner aquí por menos 1 voy a poner un signo negativo por acá ahora cuánto es el seno de 5 cuartos y el coseno de 5 cuartos bien realmente no lo sé de memoria pero de hecho podemos dibujar por aquí un círculo unitario y recordar cuánto es eso así que déjame hacerlo por aquí voy a dibujar un círculo ok y deberíamos ser capaces de encontrar cuánto vale cada uno de estos entonces en un círculo unitario tenemos los siguientes ángulos y déjenme recordarlo porque mi cerebro a veces convierte todo a grados y cuarto se es lo mismo que 45 grados así que aquí tengo y cuartos por aquí tengo 2 cuartos por aquí tres cuartos por aquí tengo cuatro cuartos y por aquí tengo cinco cuartos aterrizamos justo ahí así que si quieren ver dónde intersectan el círculo unitario esto está en el punto está en el punto menos raíz de 2 sobre 2 coman menos raíz de 2 sobre 2 y bueno si quieres saber cómo supe esto te invito a revisar el círculo unitario de algunos de los ángulos estándar alrededor del círculo unitario y eso lo puedes encontrar en la sección de trigonometría de la canaca deming pero esto es suficiente para nosotros ya que sabemos que el seno es la coordenada james que en este caso es menos la raíz de 2 sobre 2 entonces en lugar de esto voy a poner menos la raíz de 2 sobre 2 y el coste no es la coordenada x de este punto es decir también menos la raíz de 2 sobre 2 pero ojo está elevado al cuadrado así que aquí me quedaría menos la raíz de 2 sobre 2 esto elevado al cuadrado ok y no olvidemos este signo negativo este signo negativo que tenemos aquí y entonces esto va a ser igual este signo negativo por este signo negativo se convierte en positivo me queda la raíz de 2 sobre 2 ya esto lo voy a dividir ya que tengo bueno este negativo se convierte en positivo la raíz de 2 elevado al cuadrado eso es lo mismo que 2 de abajo me quedarían 4 así que esto de aquí es lo mismo que dos cuartos que es lo mismo que un medio lo voy a poner aquí y ahora nos merecemos un poco de redoble de tambor porque estamos llegando al resultado que queremos es lo mismo que raíz de 2 sobre 2 que multiplica a 2 dividir por un medio es lo mismo que multiplicar por su recíproco y ahora estos dos se cancelan y me quedan simplemente la raíz de dos y ya está este es el resultado que estábamos buscando la pendiente de la recta tangente para la gráfica de james cuando x es igual a pi cuartos es de raíz de 2 muy emocionante