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Contenido principal

Establecer la diferenciabilidad para poder aplicar el TVM

Una función debe ser diferenciable para poder aplicar el teorema del valor medio. Aprende por qué esto es así, y cómo asegurarte de que el teorema se puede aplicar en el contexto de un problema.
El teorema del valor medio (TVM) es un teorema de existencia semejante a los teoremas del valor intermedio y de los teoremas de valores extremos (TVI y TVE). Nuestro objetivo es comprender el teorema del valor medio y saber cómo aplicarlo.

El TVM y sus condiciones

El teorema del valor medio garantiza, para una función f que es diferenciable en un intervalo que va de a a b, que existe un número c en ese intervalo tal que f, prime, left parenthesis, c, right parenthesis es igual a la razón de cambio promedio sobre el intervalo.
f, prime, left parenthesis, c, right parenthesis, equals, start fraction, f, left parenthesis, b, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, a, right parenthesis, divided by, b, minus, a, end fraction
Gráficamente, el teorema garantiza que un arco entre dos extremos tiene un punto en el cual la tangente al arco es paralela a la secante que pasa por los dos extremos.
Se grafica una función. El eje x positivo no está marcado. La gráfica es una curva. La curva comienza en un círculo cerrado en el origen, se mueve hacia arriba hasta un pico, se mueve ligeramente hacia abajo y termina en un círculo cerrado en el cuadrante 1. Una recta secante conecta los extremos de la curva. Una recta tangente se dibuja paralela a la recta secante y toca la curva en algún lugar entre los extremos.
Las condiciones precisas bajo las cuales el TVM aplica son que f sea diferenciable en el intervalo abierto left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis y continua en el intervalo cerrado open bracket, a, comma, b, close bracket. Como diferenciabilidad implica continuidad, también podemos describir la condición como ser diferenciable en left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis y continua en x, equals, a y x, equals, b.
Usar parámetros como a y b y hablar sobre intervalos abiertos y cerrados es importante si queremos ser matemáticamente precisos, pero estas condiciones esencialmente significan lo siguiente:
Para poder aplicar el TVM, la función debe ser diferenciable en el intervalo de interés, y continua en los extremos del intervalo.

Por qué la diferenciabilidad en el intervalo es importante

Para comprender por qué esta condición es importante, considera la función f. La función tiene un pico entre x, equals, a y x, equals, b por lo que no es diferenciable en left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis.
Se grafica la función f. El eje x positivo incluye los valores a y b, de izquierda a derecha. La gráfica es un conjunto de segmentos de recta. El conjunto comienza en un círculo cerrado por encima de x = a, se mueve hacia arriba, cambia de dirección abruptamente, se mueve hacia abajo y termina en un círculo cerrado en x = b, más alto que el punto de partida.
Ciertamente, la función tiene solamente dos rectas tangentes posibles, ninguna de las cuales es paralela a la secante que pasa por x, equals, a y x, equals, b.
La gráfica de la función f tiene 2 rectas tangentes y una recta secante. La tangente A comienza en el cuadrante 3, se mueve hacia arriba a lo largo del segmento de recta ascendente y termina en el cuadrante 1. La tangente B comienza en el cuadrante 1, se mueve hacia abajo a lo largo del segmento de recta descendente y termina en el cuadrante 1. Una recta secante conecta los extremos de los segmentos de recta.

Por qué la continuidad en los extremos es importante

Para entender esto, considera la función g.
Se grafica la función g. El eje x positivo incluye los valores a y b, de izquierda a derecha. La gráfica es una curva. La curva empieza en un círculo cerrado encima de x = a, se mueve hacia arriba con inclinación creciente y termina en un círculo cerrado en x = b.
Siempre que g sea diferenciable en left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis y continua en x, equals, a y x, equals, b, se puede aplicar el TVM.
La gráfica de la función g tiene una recta tangente y una recta secante. La recta tangente comienza en el cuadrante 4, se mueve hacia arriba, toca la curva y termina en el cuadrante 1. La recta secante conecta los extremos de la curva.
Ahora, cambiemos g de tal forma que no sea continua en x, equals, b. En otras palabras, el límite unilateral limit, start subscript, x, \to, b, start superscript, minus, end superscript, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis permanece igual, pero el valor de la función cambia a algo distinto.
Se grafica la función g. El eje x positivo incluye los valores a y b, de izquierda a derecha. La gráfica es una curva. La curva comienza en un círculo cerrado encima de x = a, se mueve hacia arriba con inclinación creciente y termina en un círculo abierto en x = b. Un punto cerrado está graficado en x = b, por debajo del punto de partida en x = a. Una recta secante conecta los 2 círculos cerrados.
Observa cómo todas las posibles rectas tangentes en el intervalo necesariamente son crecientes, mientras que la recta secante es decreciente. Así, no existe ninguna recta tangente que sea paralela a la recta secante.
En general, si una función no es continua en los extremos, la recta secante estará desconectada de las rectas tangentes en el intervalo.
En el conjunto de problemas 1, analizaremos la aplicabilidad del teorema del valor medio a la función h en diferentes intervalos.
Problema 1.A
Se grafica la función h. El eje x va de menos 8 a 8. La gráfica consiste en una curva y un conjunto de segmentos de recta. La curva comienza en el cuadrante 1, se mueve hacia abajo, se mueve verticalmente a través de (menos 6, 3) y termina en un círculo cerrado en (menos 3, menos 3). El conjunto comienza en un círculo abierto en (menos 3, menos 5), se mueve hacia arriba, cambia de dirección abruptamente en (6, 4), se mueve hacia abajo y termina en (8, 2).
¿Podemos aplicar el TVM a h en el intervalo open bracket, minus, 5, comma, minus, 1, close bracket?
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Problema 2
La gráfica de la función f tiene una tangente vertical en x, equals, 2.
¿Podemos aplicar el TVM a f en el intervalo open bracket, minus, 1, comma, 5, close bracket?
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¿Quieres más práctica? Intenta este ejercicio.
Observación: cuando el TVM no es aplicable, todo lo que podemos decir es que no estamos seguros de que la conclusión sea verdadera. Esto no quiere decir que la conclusión no es verdadera.
En otras palabras, es posible tener un punto donde la tangente es paralela a la secante, aun cuando el TVM no es aplicable. Simplemente no podemos estar seguros de ello a menos que las condiciones para poder aplicar el TVM se satisfagan.
Por ejemplo, en el último problema, el TVM no se puede aplicar a f en el intervalo open bracket, minus, 1, comma, 5, close bracket, aun cuando de hecho existen dos puntos en el intervalo open bracket, minus, 1, comma, 5, close bracket donde la tangente es paralela a la secante que pasa por los extremos.
Se grafica la función f. El eje x va de menos 2 a 8. La gráfica consiste en una curva. La curva comienza en el cuadrante 3, se mueve hacia abajo al punto (menos 1, menos 3 ), se mueve hacia arriba, pasando verticalmente a través de (2, 0), continúa hasta el punto (5, 3), se mueve hacia abajo y termina en (8, 0). Hay dos rectas tangentes paralelas. Cada una comienza en el cuadrante 3, se mueve hacia arriba y termina en el cuadrante 1. La recta tangente superior toca la curva en aproximadamente (2.8, 2.2). La recta tangente inferior toca la curva en aproximadamente (1.2, menos 2.2). Una recta secante conecta los puntos (menos 1, menos 3) y (5, 3).
Problema 3
Esta tabla contiene algunos valores de la función h.
x371011
h, left parenthesis, x, right parenthesis15minus, 2minus, 6
James dijo que como start fraction, h, left parenthesis, 7, right parenthesis, minus, h, left parenthesis, 3, right parenthesis, divided by, 7, minus, 3, end fraction, equals, 1, debe existir un número c en el intervalo open bracket, 3, comma, 7, close bracket para el cual h, prime, left parenthesis, c, right parenthesis, equals, 1.
¿Cuál condición hace verdadera la aseveración de James?
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Error común: no reconocer cuándo las condiciones se satisfacen

Tomemos el problema 3 como ejemplo. Estas son formas comunes en las que esperamos que se vean las condiciones para aplicar el TVM:
  • h es diferenciable en left parenthesis, 3, comma, 7, right parenthesis y continua en open bracket, 3, comma, 7, close bracket.
  • h es diferenciable en left parenthesis, 3, comma, 7, right parenthesis y continua en x, equals, 3 y x, equals, 7.
Sin embargo, la información que tendremos de la función no siempre estará dada de esta forma. Por ejemplo, si h es diferenciable en open bracket, 3, comma, 7, close bracket, las condiciones se satisfarán, ya que diferenciabilidad implica continuidad.
Otro ejemplo es cuando h es diferenciable sobre un intervalo más grande, como left parenthesis, 2, comma, 8, right parenthesis. Aun cuando no se menciona la continuidad, la diferenciabilidad en left parenthesis, 2, comma, 8, right parenthesis implica diferenciabilidad en left parenthesis, 3, comma, 7, right parenthesis y continuidad en open bracket, 3, comma, 7, close bracket.
Problema 4
f es una función diferenciable. f, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, minus, 2 y f, left parenthesis, 5, right parenthesis, equals, 2.
Empareja cada conclusión con su teorema de existencia correspondiente.

Error común: aplicar el teorema de existencia equivocado

A estas alturas, estamos familiarizados con los tres teoremas diferentes de existencia: el teorema del valor intermedio (TVI), el teorema de los valores extremos (TVE) y el teorema del valor medio (TVM). Tienen una estructura similar, pero son aplicables bajo distintas condiciones y garantizan la existencia de distintas clases de puntos.
  • El TVI garantiza la existencia de un punto en el cual la función tiene un valor dado entre otros dos valores.
  • El TVE garantiza la existencia de un punto en el cual la función alcanza un valor máximo o un valor mínimo.
  • El TVM garantiza la existencia de un punto en el cual la derivada tiene cierto valor.
Antes de aplicar alguno de los teoremas de existencia, asegúrate de entender el problema lo suficientemente bien para determinar cuál teorema debe aplicarse.