Introducción a los puntos críticos

aquí dibujé la gráfica de una función media lo que hace esto hace como una n luego una u tiene un pico y baja lo que quiero hacer ahorita es platicar acerca de sus máximos y de sus mínimos pero antes déjame decirte que esta función así en este ejemplo después del intervalo o sea hacia la izquierda sigue bajando hacia infinito o sea aquí sigue bajando lo voy a poner así punteado para indicar que sigue bajando y de este lado también va entonces baja y baja y baja y tiene valores cada vez más y más negativos así hasta menos infinito entonces vamos a empezar a analizar algunos mix mínimos y máximos de esta función por ejemplo acá arriba acá arriba tenemos un valor vamos a llamarle a este punto en el eje x vamos a llamarle x0 y a esta altura vamos a ponerle f x él y lo que le sucede a este valor es que es un máximo global déjame poner algunas líneas punteadas para que quede un poco más bonito o algo así estoy acá es un máximo global porque es un máximo global máximo global global pues justo porque efe de x0 le gana a efe x para cualquier otro valor de x que tomemos entonces efe x 0 es lo más que podemos alcanzar para toda esta función vale eso quiere decir que es un máximo global ahora mi pregunta sería existe algún mínimo mínimo global mínimo global global pues no no hay un mínimo global para esta función para efe porque pues por más que intentemos obtener el valor más chico como la función baja a menos infinito tanto de este lado como de este lado pues vamos a tener valores más y más chicos entonces no vamos a poder encontrar un mínimo global bueno pero estos son cosas globales o sea que funcionan para todos los valores de x sin embargo también hay mínimos y máximos locales es decir mínimos y máximos que son mínimos y máximos navas en un cachito en un intervalo a lo mejor ahorita no voy a hacer muy estricto con la definición pero bueno vamos a ver por ejemplo donde vemos que hay como un mínimo local más o menos por acá porque pues mira aquí tenemos un punto vamos a llamarle x 1 x 1 y a la altura correspondiente pues efe x 1 y aunque no es el más chiquito de todos podemos agarrarnos un intervalo alrededor de modo que si sea el más chiquito en ese intervalo va otra vez esto no es la definición así completamente formal pero podemos pensar la de esa forma va entonces este de aquí sería un mínimo local qué sucede con este punto de acá con este punto que voy a pintar en color naranja si le llamamos x2 de manera similar ahora es un máximo local porque alcanza el mayor valor para los puntos que están cerquita de él sí o sea al acercarnos lo suficiente es un punto donde se alcanza un valor máximo ok entonces fíjate ya tenemos un máximo global déjame escribirle que por acá tenemos un mínimo local mínimo mínimo local local efe x1 y finalmente que acá tenemos un máximo local máximo máximo local no vocal efe de x2 muy bien ya tenemos esos tres valores y lo que quiero hacer ahorita es que nos preguntemos cómo está relacionado ser un máximo y un mínimo con la derivada entonces vamos a pensar en esto déjame tomar un color central para hacer la derivada entonces qué sucede aquí alrededor del máximo global pues a la izquierda del máximo global tenemos una derivada que es positiva verdad es o sea la función es creciente la derivada es positiva luego tenemos una derivada que es menos positiva menos positiva y justo en este punto la derivada se hace cero qué pasa si seguimos avanzando pues ahora va a ser negativa la derivada más su más negativa de máxima negativa pero lo importante es que aquí efe lima/efe prima de x0 fue igual a cero bueno vámonos al mínimo local de manera similar al acercarnos a este mínimo tenemos que la derivada se va haciendo cada vez más y más horizontal sí bueno la línea tangente se va haciendo más horizontal y por tanto la derivada se va acercando a cero entonces justo en este punto en x1 también tenemos que f prima de x 1 es igual a 0 eso está ya como que medio sospechoso verdad vamos al tercer punto a ver qué pasa pues aquí tenemos que la derivada es positiva más o menos bueno es muy positiva pero luego así repentinamente de manera abrupta se hace negativa entonces aquí en el mero x2 aquí en este puntito la derivada no está definida va entonces aquí le voy a poner que ese primer x 2 no está no está definida de fin a este es un fenómeno muy interesante verdad vamos a apuntarlo por acá abajo vamos a ver qué le sucede a los máximos y los mínimos entonces si tenemos un mínimo un mínimo y un máximo máximo sale que no sea el extremo de un intervalo no extremo un extremo de intervalo de intervalo entonces bueno o sea mínimo máximo no extremo de intervalo en el punto x igualada necesitamos poner esto entonces tenemos que o bien f prima de a es igual a cero o bien efe primera a no está definida no está definida de vida ahora déjame aclarar un poco esto de que no sea el extremo de un intervalo porque no te platicaba cabeza entonces mira o sea lo que puede pasar y qué es el caso que no nos interesa ahorita lo que puede pasar es que ahí tengamos los ejes y aquí una función pero que esta función está definida nada más en un cachito sí o sea nada más en un intervalo digamos en este intervalo de acá entonces a lo que me refiero con que se alcance un mínimo o máximo que no sea en el extremo de un intervalo es que no nos importan y este punto ni este punto va entonces hay funciones que sólo están definidas digamos de 1 a 4 y ahorita no nos importa fijarnos en el uno ni en el 4 si no nada más en los puntos interiores entonces tenemos este resultado de acá si tenemos un mínimo o un máximo que no esté en el extremo de un intervalo para eso es importante y ese mínimo máximo es en el punto x es igual a entonces tenemos esta igualdad de acá déjame ponerlo en un cuadrito para qué para que la tengamos muy en cuenta ok bueno entonces esto cumple estoy acá y estos puntos donde la deriva de 0 o no está definida tienen un nombre especial se les conoce como puntos críticos puntos críticos críticos de la función en este caso sería de de f entonces déjame escribir por acá quienes serían los puntos críticos voy a poner puntos críticos críticos tenemos los puntos críticos de efe serían x0 aquí tenemos x 0 sería x1 y x1 y finalmente tenemos x 2 x 2 ahora mi pregunta es la siguiente estos son los únicos puntos críticos no verdad al parecer hay otro y eso está muy relacionado con lo siguiente o sea un mínimo o máximo implica que la derivada de 0 o no está definida qué tal al revés será cierto que todos los puntos críticos nos dan mínimos o máximos de la función los puntos críticos nos darán los valores extremos de la función bueno pues vamos a ver a ver si esta función tiene otro punto crítico aquí viene la derivada es positiva 0 negativa negativa 0 positiva no está definida negativa y aquí se vuelve a hacer 0 verdad entonces déjame marcar este punto que parece ser interesante más o menos por acá vamos a llamarle x 3 en este punto también tenemos también tenemos que f prima de x 3 es igual a 0 entonces la derivada en x 3 también es 0 x 3 es un punto crítico sin embargo hay que tener cuidado porque x 3 no es ni un mínimo local ni un máximo local ni nada por más que nos acerquemos hay puntitos por arriba y hay puntitos por abajo ok entonces eso está súper bueno verdad ya tenemos no sólo que que los mínimos o máximos éste nos dan o sea que son puntos críticos sino que no necesariamente los puntos críticos son mínimos o máximos del intervalo entonces es como un semi criterio bueno entonces ahí está ya tenemos oa cuáles son los puntos críticos una buena pregunta que vamos a explorar en el siguiente vídeo es cómo le hacemos para saber ya que tenemos los puntos críticos si esos son mínimos o si son máximos o si no son ninguna de las dos bueno nos vemos en el próximo vídeo