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Transcripción del video

ya hemos cubierto la noción del área entre la curva james y el eje x utilizando una integral definida pero esta vez pensaremos en el área entre dos curvas así que imagina que queremos encontrar el área de la región desde x igual a am hasta x igual la vez en tremp que igual a fx y que igual a gtx es decir esta área que apoya a sombrear ahora basándonos en lo que ya sabemos sobre integrales definidas como podemos encontrar esta área tal vez podemos pensar en encontrar el área bajo la curva desde aaa hasta b de fx de x obteniendo toda esta área de color amarillo bajo la curva y sobre el eje x y xi a esa área le restó el área de color verde que se integra al definida de aa ver deje de x de x entonces me quedo con el área que estoy buscando que en este caso es el área de color blanco y de hecho esta es la forma de encontrarla ahora sabemos por las propiedades de las integrales que esto es lo mismo que la integral de a a b d efe de x menos gdx de x bien es necesario que aclare algo en este vídeo vamos a desarrollar nuestra instrucción sobre cómo obtener el área entre dos curvas pero ojo esta expresión que obtuvimos la integral definida de aavv df de x - gtx de x funciona si fx es mayor que gdx como en este caso y seguramente te preguntarás oye qué pasa cuando no tenemos ambas funciones arriba del eje x que pasa por ejemplo en el caso en el que fx está por encima del eje x y gdx está por debajo del eje x por ejemplo pensemos en este intervalo de aquí donde aquí tenemos a x igual ac jac a ax walla dee como podemos encontrar la expresión para esta área sombreada de color toda esta área de color rosa será que funcionará la misma expresión pensemos en el área que obtenemos de la integral de cea del df de x de x bueno pues es justo esta área de aquí y pensemos en el área que obtenemos de la integral de c a d dgt x de x bueno tal vez estés tentado a decir que es esta área de aquí pero recuerdan en esta parte gtx está por debajo del eje x por lo tanto toma valores negativos si queremos el área total tenemos que tomar esta primera área de color azul claro que va a estar en el área de color rojo es así como obtendrás esta área total positiva y puedes observar que esta es simplemente la integral deseada df tx - gtx de x así que de nuevo en este caso funciona también esta expresión donde fx está por encima del eje x de x está debajo del eje x obtuvimos la misma expresión bien es momento de ver otro escenario más el último en el cual tanto f x como que de x están debajo del eje x imagina que queremos tomar el intervalo desde m x igual a me estoy quedando sin letras directa desde x igual a m hasta x igual a n y quiero esta área de aquí estamos viendo un intervalo donde f es mayor que g pero ambas están debajo del eje x como podemos encontrar la expresión para esta área sombreada será que funciona la misma expresión bien pensemos un poco si queremos evaluar la integral definida de emea n de fx menos que de x de x ya sabemos por nuestras propiedades de las integrales que ésta es igual a la integral desde m hasta n de fx de x menos la integral desde m está en el eje de x de x bueno la integral de color amarillo nos da esta área así que aquí vamos a obtener una área con un valor negativo pero podemos decir que el valor absoluto nos da esta área de aquí y ahora está integral de color verde sin contar el signo de menos fuera de la integral nos da el negativo de esta área que estoy coloreando pero si tomamos el signo negativo de esta integral toda esta parte nos está dando justo el área que buscamos el área de color verde de hecho obtenemos un valor positivo porque estamos tomando el negativo de un área negativa entonces para obtener esta área que queremos de color blanco tenemos que tomar el área de color verde y restarle el área de color amarillo por lo tanto si tomas la suma del área de color verde que ya sabemos que es el negativo de esta integral es decir esta expresión completa de color verde más la integral de color amarillo que ya sabemos que es el área en amarillo pero negativa vamos a obtener el área de color blanco que buscábamos y ahora si podemos concluir que si tomamos un intervalo donde ftx sea mayor a gtx entonces el área entre las curvas es simplemente la integral definida ese intervalo de fx 7x de x hasta la próxima