Método de los anillos al rotar alrededor de una recta horizontal, no del eje x (parte 2)

recuerdan que en el vídeo pasado llegamos a esta expresión de la integral la cual correspondía al volumen del suelo de revolución que estábamos buscando de esta región que vamos a crear alrededor de la recta y es igual a 4 pues bueno ahora lo que voy a hacer en esta ocasión es encontrar el valor de esta integral y para esto pues hay que hacer todas las cuentas correspondientes así que lo primero que voy a hacer es tomarme este polinomio y elevarlo al cuadrado por lo tanto tengo 4 - x cuadrada mejor déjenme ponerlo de forma ascendente para que sea mucho más fácil y ya tenerlo de una vez simplificado entonces es menos x cuadrada más 2 x más 4 lo único que hice fue acomodar este polinomio con el grado mayor al principio y para elevarlo al cuadrado hay que multiplicarlo por sí mismo por lo tanto lo único que hay que hacer es la multiplicación de polinomio por polinomio y que me va a quedar empecemos por el 4x4 bueno 4x4 16 después es 4 por 2x que es 8 x 4 x menos equis cuadrada es menos 4 x cuadrada menos 4 x cuadrada y después vamos con el segundo término 2x por 4 es 8 x 2 x x 2 x es 4 cuadrada positivo y 2x x - x cuadrada es lo mismo que menos 2x cúbica y ahora vamos con el tercer término y me queda menos x cuadrada por 4 pues es lo mismo que menos 4x cuadrada no es así menos 4x cuadrada y después menos equis cuadrada por 2x es lo mismo que menos 2x cúbica y después tengo menos x cuadrada por menos x cuadrada lo cual me da positivo x cuarta equis cuarta positiva y bueno ahora sí voy a simplificar toda esta multiplicación de polinomios haciendo la respectiva sumas y restas por lo tanto vamos haciéndolo con cuidado para que no me equivoque x 4a menos 4x cúbica y después este con este se van y me queda solamente menos 4 x cuadrada y después 8 x 8 x positivos los dos son 16 x y después solamente bajó el 16 bueno esto es en una primera parte cuando yo elevé 4 - es cuadrada más 2 x elevado al cuadrado ahora lo que voy a hacer es 4 - x elevado al cuadrado que es el segundo binomio que tenemos que elevar al cuadrado y por lo tanto 4x4 de 16 4 x - x me va a dar menos 4 x después menos x por 4 pues es menos 4x y al último menos x x menos x que me da x cuadrada y esto sí lo simplificamos un poco me va a quedar x cuadrada después menos 4 x menos 4 x es menos 8x y después más 16 y bueno entonces en esta integral hay que hacer la diferencia entre el primer resultado menos el segundo resultado por lo tanto a éste le voy a cambiar el signo entonces me va a quedar todo esto menos y entre paréntesis x cuadrada menos 8 x más 16 por lo tanto hay que multiplicar por menos esta expresión o cambiarles el signo por lo tanto me queda menos x cuadrada más 8 x menos 16 y ahora sí voy a hacer otra vez la operación de estos dos polinomios para ver mi resultado que voy a integrar y para no hacer más relajo déjenme poner el resultado aquí abajo para que lo podamos integrar entonces x cuarta pues no tienen nadie con quién sumarse ni restar se entonces se queda igual lo mismo pasa con menos 4x cúbica y después menos 4x cuadrada - x cuadrada me queda 5 x cuadrado 16 x 8 x es 24 x y estos dos vamonos se van a un positivo y el negativo iguales se cancelan y entonces lo que tengo que hacer es la integral de esta expresión que tengo aquí la integral de dónde a dónde a bueno de 0 a 3 recuerden que mi límite de integración superior era 3 y después hay que multiplicar todo esto por de x así que vamos a buscar las anti derivadas para resolver esta integral esperen me falta pi 15 sin aquel que pone también a pi y lo voy a sacar fuera integral porque recuerden que es una constante georges y voy a calcular toda la anti derivada que tenemos aquí por lo tanto me queda pi que multiplica a quien bueno la anti derivada de x cuarta es x quinta entre 5 recuerden que le sumamos una el exponente y lo dividimos entre ese mismo número después me quedan menos 4 x elevado a la cuarta entre 4 por lo tanto el 44 se van y solamente me queda menos x cuarta después me queda menos 5 x elevado al cubo entre 3 es decir menos 5 tercios de x cúbica recuerden que le sumamos 1 el exponente y lo dividimos entre ese mismo número después me queda 4 x cuadrada entre 2 pero 24 entre 2 es lo mismo que 12 por lo tanto al final me queda más 12 x cuadrada y todo esto espero no esperen todo esto hay que evaluarlo de dónde a dónde lo tenemos que evaluar en dos límites de integración por lo tanto le voy a poner el corchetes recuerden que los corchetes indican que vamos a evaluar esto en 0 y en 3 y entonces vamos a hacerlo si te das cuenta lo primero que hay que hacer es evaluarlo en el índice superior es decir en 3 por lo tanto vamos a ponerlo 3 elevado a la quinta entre 5 3 elevado a la quinta en 35 cuánto es 3 por 3 9 por 3 27 por 381 a ver déjenme escribirlo 3 al cubo es lo mismo que 27 eso lo sabemos 3 elevado a la cuarta es lo mismo que 81 y 3 elevado a la quinta es 81 por 3 entonces me queda tres por una es 3 y 3 por 8 24 243 entonces es 243 quintos 243 quintos y después que me va a quedar menos x cuarta evaluado el 32 mismo que 81 entonces me queda menos 81 menos 5 tercios de x cúbica por lo tanto vamos a escribirlo evaluado en el 3 me queda menos 5 tercios de x elevado al cubo pero cuando lo sustituimos por 3 me queda 3 elevado al cubo lo cual es 27 pero bueno esto se puede simplificar un poco porque 27 y 3 se pueden dividir entonces 27 entre 3 me dan 9 y por 5 me da 45 mejor escribo en lugar de todo esto directamente 45 si es que no nos dimos cuenta el 3 iba a eliminar con uno de estos 13 si me quedaba 5 por x al cuadrado es decir 5 por 9 que era 45 y bueno ahora voy a sustituir el 3 en la última expresión y me queda 12 por 9 lo cual es 108 y ya con esto acabo con el 3 y después a esto hay que quitarle la evaluación en cero sin embargo si te das cuenta cuando nosotros ponemos 000 kaiser acá al final todo esto me resulta cero por lo tanto ni hay que hacerlo ni hay que complicarnos la vida solamente hay que realizar toda esta operación que tenemos aquí y por lo tanto vamos a hacerlo me queda factor izado y toda esta parte que tengo aquí cuánto es menos 81 menos 45 más 108 pues la podemos hacer no entonces lo primero que voy a hacer es menos 81 menos 40 5 los 2 negativos y los voy a sumar por lo tanto me queda menos 126 negativo 126 ya esto le voy a sumar 108 ok entonces lo que voy a hacer es 126 menos 108 lo cual me da 18 entonces el resultado de menos 126 más 108 es 18 pero 18 negativo a esto le tenemos que sumar 243 quintos déjenme ver si lo hice bien menos 81 menos 45 es menos 126 ajá más 108 me va a dar 18 porque 18 y 108 es 126 en efecto y bueno a esto hay que sumarle 243 quintos por lo tanto voy a escribir el menos 18 en quintos y menos 18 en quintos es lo mismo que 90 quintos porque 5 por 18 es 90 entonces esto ya está mucho más fácil me queda pi que multiplica a 243 quintos 243 quintos ya esto le voy a quitar mis 90 quintos que me salieron del resultado de menos 81 menos 45 más 108 y esto cuánto es igual y que multiplica a 243 menos 90 243 menos 90 es lo mismo que 153 entonces es 153 entre 5 o dicho de otra manera esto es lo mismo que 153 y quintos 153 pi quintos y lo hemos logrado por fin sacamos el volumen que queríamos el volumen si se acuerdan de lo que vimos en el vídeo pasado de esta básica extraña que yo tenía aquí que era un sólido de revolución