Volumen con secciones transversales: introducción

es muy probable que estés familiarizado con la idea de hallar el área entre dos curvas y si no es así te encargó que revises este tema en la canaca de mí por ejemplo podemos encontrar esta área en amarillo usando una integral definida lo que vamos a hacer en este vídeo es algo aún más interesante vamos a encontrar el volumen de algunas figuras donde la base está definida de alguna manera como el área entre dos curvas y en este vídeo vamos a pensar en una figura que dibujaremos en tres dimensiones así que déjame dibujar esto de nuevo pero con un poco de perspectiva hagamos este el eje james y este de cam mi eje x por lo tanto esta será mi recta que igual a 6 y esta sería la recta punteada por lo tanto aquí tendríamos el punto x igual a 2 ahora la gráfica de la función que igual a 4 veces el logaritmo natural de 3 - x se va a ver algo así y por lo tanto la región sombreada será esta región pero esta vez serán la base de una figura en tres dimensiones donde cualquier sección transversal si tomo una sección transversal por aquí esta sección será un cuadrado sea cual sea este largo eso mismo tendrá de altura y por lo tanto la sección transversal es un cuadrado aquí por ejemplo esta sección transversal también será un cuadrado sea cual sea la diferencia entre estas dos funciones tendrán eso mismo de altura y por ejemplo hasta acá esta longitud que es de 6 en este punto también tendrán lo mismo de altura así de grande déjame subir un poco la pantalla para que quepan y tenga la proporción adecuada algo así y observa es un cuadrado se ve algo así entonces toda la figura se va a ver de esta forma muy bien déjame sombrear un poco para que se aprecie mejor el dibujo y con suerte ya tienes la idea en la mente seguramente algunos de ustedes se sienten emocionados y tal vez otros se sientan un poco intimidados y digan oye hemos trabajado tanto tiempo en dos dimensiones que pasa ahora con tres dimensiones rápidamente puedes apreciar que tenemos el poder de la integración para resolver este ejercicio para eso tendremos que dividir la figura en un montón de estos pequeños azulejos cuadrados que tienen una pequeña profundidad o anchura así que aquí tenemos un pequeño azulejo por acá tendremos otro muy bien también tiene una pequeña profundidad y podría seguir dibujando muchos de ellos en varios lugares por eso estamos dividiendo en estos azulejos que tienen un ancho muy pequeño que podemos llamar de equis y con esto ya sabemos encontrar su volumen cuál sea el volumen de uno de estos azulejos bueno tenemos que multiplicar el ancho por el área de la cara de esta sección transversal así que cuál va a ser el área de esto que estoy sombreando en color rosa bueno esta área será la longitud de la base elevada al cuadrado porque tenemos un cuadrado recuerdas ahora bien cuál es la longitud de la base bueno será la diferencia entre estas dos funciones serán 6 menos mi función inferior que es 4 veces el logaritmo natural de 3 menos x esto nos dará la longitud de la base y se ahora lo elevamos al cuadrado obtendremos esta área total y si ahora lo multiplicamos por de x que es el ancho entonces tendremos el volumen de este pequeño azulejo de esta pequeña sección de aquí y creo que ya sabes a dónde va todo esto porque ahora qué pasa si sumas todos estos volúmenes desde x igual a cero hasta x igual a 2 bueno obtendrás el volumen de toda la figura y este es el poder de la integral definida por lo tanto podemos integrar desde x igual a cero hasta x igualdad 2 y si dibujas en donde eso intersecta con tu base podrás ver que este azulejos de aquí ínter seca en este pequeño rectángulo de aquí donde tenemos a de x pero en lugar de multiplicar a de x por la diferencia entre estas dos funciones vamos a elevar al cuadrado la diferencia de estas dos funciones porque estamos visualizando una figura en tres dimensiones observa estamos comparando el área de la superficie de esta figura de tres dimensiones en contraposición con la altura de este pequeño rectángulo y si ahora que es evaluar esta integral obtendrás en efecto el volumen de esta cosa que es un tipo de megáfono ahora bien ésta no es una integral que se pueda calcular a mano fácilmente pero podemos usar una calculadora para encontrarla en esta calculadora podemos seleccionar la opción de más y elegir la opción 9 para integrarles definidas y ahora tenemos que poner la función que escribimos vamos de 0 a 2 y abriré otro paréntesis y después lo elevaría al cuadrado tengo seis menos cuatro veces el logaritmo natural de 3 - x déjame cerrar el paréntesis del logaritmo natural y ahora voy a cerrar el paréntesis de la expresión y lo voy a elevar al cuadrado ok y por último tengo que poner que estoy integrando todo esto con respecto a x entonces esto va a ser aproximadamente igual a am a 26.27 entonces aproximadamente 26.27 es el resultado de esta integral y como estoy hablando de volumen entonces si pensamos en las unidades tendrían el cubo de las unidades o unidades al cubo y qué creés ya con esto hemos terminado es todo así que nos vemos en el siguiente vídeo