Método de los anillos al rotar alrededor de una recta vertical, no del eje y (parte 1)

en este vídeo vamos a jugar con la región que tenemos entre estas dos funciones entre la función y es igual a la raíz cuadrada de xy la función y es igual a x cuadrada y la vamos a girar pero en esta ocasión no alrededor del eje de las 10 en esta ocasión vamos a girar la alrededor de una recta vertical la recta x igual a 2 y bueno si ustedes hacen el sólido de revolución que les queda al girar esta región alrededor de esta recta les va a quedar esta figura que yo tengo aquí esta figura que tiene esta cierta forma extraña y es una figura que tiene un hoyo en el centro un hoyo que se forma por la función y es igual x cuadrada y entonces parece ser como una pared y bueno para sacar el volumen de esta pared voy a utilizar el método de las arandelas otra vez que al final es utilizar el método de los discos pero como un método de los discos con anillos por eso también es conocido como el método de los anillos y bueno como lo que queremos es girar alrededor de esta línea vertical entonces lo que vamos a querer es tener un buen de arandelas y sin embargo estas grandes van a tener tener una función de iu porque lo que vamos a querer hacer es sumar estas arandelas e integrar con respecto a y si tenemos estas arandelas por lo tanto este que voy a dibujar aquí es un radio interno que por cierto si se dan cuenta está definido por la función y es igual a x cuadrada y también tenemos un rato exterior que va a ser este de aquí y que por cierto está definido por la función y es igual a la raíz cuadrada de x y se los juro que estoy intentando ser el mejor dibujo más razonablemente posible y después tenemos un cierto grosor de este anillo recuerden que el grosor es muy importante el cual es un pequeño muy pequeño de 10 así que déjenme darle volumen y por lo tanto dibujar el grosor y ya he acabado con esto ya tenemos aquí a mi arandela y bueno esta arandela que les acabo de dibujar es justo la arandela que sale si yo roto alrededor de esta recta x igualados este rectángulo que les voy a dibujar aquí este rectángulo tiene como altura de james y lo estamos girando alrededor de la recta vertical x igualados con esto es que obtenemos a nuestra arandela y bueno ya que tenemos ahora a nuestra arandela lo que voy a construir es una arandela para cada uno de los valores de que en este intervalo y por lo tanto puedes imaginarte a un montón de arandelas y el volumen de este sólido de revolución va a ser la suma de todos los volúmenes de todas estas arandelas recuerden que tomábamos el límite diciendo que day era muy pequeño y por lo tanto teníamos una infinidad de arandelas eso dicho en otras palabras quiere decir que day es infinitesimalmente pequeño pero bueno antes de emocionarnos con todo esto lo primero que tenemos que hacer es sacar el volumen de una de las arandelas y para sacar el volumen de unas de esas arandelas lo que voy a necesitar es que el volumen sea una función de y para empezar lo que voy a hacer es escribir estas dos funciones como funciones de james en la función demorado me queda que es igual a la raíz cuadrada de x y si yo paso la raíz cuadrada del otro lado entonces me va a quedar que x o la función de lleva a ser igual a ye cuadrada ese es nuestra función exterior la función que tenemos en la pared exterior y ahora vamos a fijarnos qué es lo que pasa con la función interior es decir con la función de amarillo y es igual a equis cuadrada y si yo saco raíz de ambos lados entonces me va a quedar que por cierto estoy sacando la raíz principal y eso es muy cierto porque esta función vive en nuestro primer cuadrante y entonces ahora sí si yo saco la raíz principal de ambos lados me queda que x es igual a la raíz cuadrada de james bueno ahora la pregunta es ya que tengo el grosor de jane de este estarán de la cual es el área de esta arandela vamos a tomar el color anaranjado y entonces el área que es una función de ella va a ser igual a quien pues claro ya lo hemos visto va a ser el área del círculo que estamos considerando en la función exterior ya ésta le vamos a quitar el área del círculo de la función interior es decir le vamos a quitar el agujero de enmedio así que el círculo exterior quien es pues de spi por radio al cuadrado y por el radio exterior elevado al cuadrado ya esto le tenemos que quitar el área de la circunferencia interior déjenme volver a escribirlo de esta siguiente manera pi que multiplica al radio exterior elevado al cuadrado y que multiplica al radio interior elevado al cuadrado y queremos que esta sea una función que solamente dependa de gemma entonces empecemos a ver al radio exterior pero el radio exterior tiene que ser una función de james y fíjense bien el radio exterior es toda esta distancia que tenemos aquí toda la distancia que hay de la función exterior hasta la recta vertical x igualados es decir toda la distancia que hay desde la recta x igualados hasta llegar a la función exterior que era igual a equis cuadrada hoy ha visto como una función de james x igual a ye cuadrada y si lo queremos ver en términos de x sería todos menos cualquier valor que x valga aquí sin embargo como no queremos ver todo en términos de ya que al final es lo mismo entonces va a ser 2 - la función de y que la función de l es igual a de cuadrada por lo tanto que me va a quedar por lo tanto al escribirlo aquí me queda 2 - la función del exterior que es cuadrada 2 menos de cuadrada perdón - ya cuadrada 2 - cuadrada y ahora es hora de fijarnos en el radio interior el radio interior va a ser igual a quien y haciendo una analogía va a ser exactamente lo mismo es la distancia de la recta x igualados hasta la función exterior es decir la función efe igual a la raíz cuadrada de james si lo vemos solamente en términos pensado en valores de x va a ser el valor de x igualados que es el que toma la recta menos cualquier valor que tome x en la función efe igual a la raíz de ella y por lo tanto ya puedo escribir yo mi radio interior como 2 - la función interior de ya que es la raíz cuadrada de jeff ahora sí ahora sí ya que tenemos el radio interior y el radio exterior pues lo que vamos a hacer es sustituir todo en la fórmula del área entonces y factor hizo yo a piqué me va a quedar y que multiplica a el radio exterior elevado al cuadrado por el radio exterior es 2 - ya cuadrada y todo esto elevado al cuadrado menos y que va a multiplicar a quien a buen dicen a la función interior elevada al cuadrado por la función interiores 2 menos y elevado al cuadrado y bueno esta base entonces mi fórmula del área ya escrita todo en términos de james si yo lo que quiero sacar es el volumen de esta arandela entonces tengo que multiplicar el área por el grosor pero el grosor habíamos dicho que era de iu entonces este grosor este pequeño y delgado y diminuto grosor es de james entonces para sacar el volumen de esta arandela hay que multiplicar todo esto por de james y después lo que vamos a hacer es tomarnos la suma de todas estas arandelas por lo tanto eso se escribe como la integral de dónde a dónde hay que fijarnos en los límites de integración y como es una función de yale lo que hay que fijarnos es en límites de integración que tengan que ver con valores de y por lo tanto son dos puntos que puntos este punto que tenemos aquí que es el origen y el otro punto que tenemos aquí arriba vamos a sacarlos y para esto tenemos que igualar las dos funciones es decir en qué momento la raíz de jay y de cuadradas lo mismo y si hacemos un poco de memoria es en 0 y en 1 y entonces estos dos valores de 10 son mis límites de integración por lo tanto ya tengo que la integral de 0 a 1 de todo esto que tengo aquí diferencial de james es quién va a ser el volumen de mis sólidos de revolución que estoy buscando el volumen de esta forma rara por ahorita los dejo aquí pero en el siguiente vídeo vamos a resolver esta integral