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6° Semestre Bachillerato
Curso: 6° Semestre Bachillerato > Unidad 2
Lección 1: Acumulación de cambio y sumas de Riemann- Introducción al cálculo integral
- Introducción a las integrales definidas
- Exploración de acumulaciones de cambio
- Ejemplo resuelto: acumulación de cambio
- Acumulación de cambio
- Interpretar el comportamiento de funciones de acumulación
- Interpretar el comportamiento de funciones de acumulación
- Interpretar el comportamiento de funciones de acumulación
- Introducción a la aproximación de Riemann
- Sobre o subestimación de sumas de Riemann
- Ejemplo resuelto: encontrar una suma de Riemann usando una tabla
- Ejemplo resuelto: sub y sobrestimación de sumas de Riemann
- Sobre o subestimación de sumas de Riemann
- Sumas de Riemann derecha e izquierda
- Sumas de Riemann derecha e izquierda
- Sumas de punto medio
- Sumas trapezoidales
- Sumas con trapecios y de punto medio
- Comprender la regla del trapecio
- Repaso de sumas de Riemann
- Problema de movimiento con una aproximación por suma de Riemann
- Notación de suma
- Notación de suma
- Ejemplos resueltos: notación de suma
- Notación de suma
- Sumas de Riemann en notación sigma
- Sumas de Riemann en notación sigma
- Ejemplo resuelto: sumas de Riemann en notación de suma
- Sumas de Riemann en notación sigma
- Sumas de punto medio y con trapecios en notación de suma
- Sumas de Riemann en notación de suma: problema de desafío
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Exploración de acumulaciones de cambio
Las integrales definidas se interpretan como la acumulación de cantidades. Aprende por qué esto es así y cómo puede usarse este hecho para analizar contextos de la vida real.
La integral definida puede usarse para expresar información sobre la acumulación y el cambio neto en contextos aplicados. Veamos cómo.
Pensar sobre acumulación en un contexto del mundo real
Digamos que un tanque se llena de agua a una razón constante de start color #11accd, 5, start text, space, l, slash, m, i, n, end text, end color #11accd (litros por minuto) durante start color #ca337c, 6, start text, space, m, i, n, end text, end color #ca337c. Podemos encontrar el volumen de agua (en start text, l, end text) al multiplicar el tiempo y la razón:
Ahora considera este caso gráficamente. La razón puede representarse por la función constante r, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 5:
Cada unidad horizontal en esta gráfica se mide en minutos y cada unidad vertical se mide en litros por minuto, por lo que el área de cada unidad cuadrada se mide en litros:
Más aún, el área del rectángulo acotado por la gráfica de r, start subscript, 1, end subscript y el eje horizontal entre t, equals, 0 y t, equals, 6 nos da el volumen del agua después de 6 minutos:
Digamos ahora que otro tanque se llena, pero esta vez la razón no es constante:
¿Cómo podemos determinar el volumen de agua en este tanque después de 6 minutos? Para lograrlo, pensemos en la aproximación por suma de Riemann del área bajo esta curva entre t, equals, 0 y t, equals, 6. Por conveniencia, usaremos una aproximación en la que la base de cada rectángulo tiene 1 minuto de longitud.
Vimos cómo cada rectángulo representa un volumen en litros. Específicamente, cada rectángulo en esta suma de Riemann es una aproximación del volumen de agua que se agregó al tanque cada minuto. Cuando sumamos todas las áreas, es decir, cuando todos los volúmenes se acumulan, obtenemos la aproximación para el volumen total de agua después de 6 minutos.
Conforme usamos más rectángulos con bases más pequeñas, obtenemos una mejor aproximación. Si tomamos este procedimiento en el límite de acumular un número infinito de rectángulos, obtendremos la integral definida integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 6, end superscript, r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t. Esto significa que el volumen exacto de agua después de 6 minutos es igual al área encerrada por la gráfica de r, start subscript, 2, end subscript y el eje horizontal entre t, equals, 0 y t, equals, 6 .
Y así, el cálculo integral nos permite encontrar el volumen total después de 6 minutos:
La integral definida de la razón de cambio de una cantidad nos da el cambio neto de esa cantidad.
En el ejemplo que vimos, teníamos una función que describe una razón. En nuestro caso, era la razón de volumen entre tiempo. La integral definida de esa función nos dio la acumulación de volumen —aquella cantidad cuya razón fue dada—.
Otra característica importante aquí fue el intervalo de tiempo de la integral definida. En nuestro caso, el intervalo de tiempo fue el comienzo left parenthesis, t, equals, 0, right parenthesis y 6 minutos después de este left parenthesis, t, equals, 6, right parenthesis, por lo que la integral definida nos dio el cambio neto en la cantidad de agua en el tanque entre t, equals, 0 y t, equals, 6.
Estas son dos formas comunes de pensar sobre las integrales definidas: describen la acumulación de una cantidad, por lo que la integral definida completa nos da el cambio neto en esa cantidad.
¿Por qué "cambio neto" en esa cantidad y no simplemente la cantidad?
Usando el ejemplo anterior, observa cómo no se nos dijo si había algo de agua en el tanque antes de t, equals, 0. Si el tanque estuviera vacío, entonces integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 6, end superscript, r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, approximately equals, 24, point, 5, start text, l, end text es realmente la cantidad de agua en el tanque después de 6 minutos, pero su el tanque ya contenía, digamos, 7 litros de agua, entonces el volumen real del agua en el tanque después de 6 minutos es:
Que es aproximadamente 7, plus, 24, point, 5, equals, 31, point, 5, start text, space, l, end text.
Recuerda: la integral definida siempre nos da el cambio neto en una cantidad, no el valor real de esa cantidad. Para encontrar el valor real, necesitamos sumar una condición inicial a la integral definida.
Error común: usar unidades equivocadas
Como con todos los problemas aplicados, las unidades juegan un papel fundamental aquí. Recuerda que si r es una función de razón que se mide en start fraction, start color #11accd, start text, C, a, n, t, i, d, a, d, space, A, end text, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, start text, C, a, n, t, i, d, a, d, space, B, end text, end color #ca337c, end fraction, entonces su integral definida se mide en start color #11accd, start text, C, a, n, t, i, d, a, d, space, A, end text, end color #11accd.
Por ejemplo, en el conjunto de problemas 1, r se mide en start fraction, start color #11accd, start text, g, r, a, m, o, s, end text, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, start text, d, ı, with, \', on top, a, end text, end color #ca337c, end fraction, y entonces la integral definida de r se mide en start color #11accd, start text, g, r, a, m, o, s, end text, end color #11accd.
Error común: malinterpretar el intervalo de integración
Para cualquier función r, la integral definida integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t describe la acumulación de valores entre t, equals, a y t, equals, b.
Un error común es no tomar en cuenta uno de los límites de integración (usualmente, el menor), lo que resulta en una interpretación equivocada.
Por ejemplo, en el problema 2, sería una equivocación interpretar integral, start subscript, 2, end subscript, cubed, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t como la distancia que caminó Eden en 3 horas. El límite inferior es 2, por lo que integral, start subscript, 2, end subscript, cubed, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t es la distancia que Eden caminó entre la 2, point, start superscript, start text, a, end text, end superscript y la 3, point, start superscript, start text, a, end text, end superscript horas.
Error común: ignorar las condiciones iniciales
Para una función de razón f y una antiderivada F, la integra definida integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t nos da el cambio neto de F entre t, equals, a y t, equals, b. Si sumamos una condición inicial, obtendremos el valor real de F.
Por ejemplo, en el problema 3, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, 5, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t representa el cambio en la cantidad de dinero que Julia ganó entre el 1, point, start superscript, start text, e, r, end text, end superscript y el 5, point, start superscript, start text, o, end text, end superscript meses. Pero como sumamos 3, que es la cantidad de dinero que tenía Julia en el 1, point, start superscript, start text, e, r, end text, end superscript mes, la expresión ahora representa la cantidad real en el 5, point, start superscript, start text, o, end text, end superscript mes.
Conexión con las razones de cambio aplicadas
En cálculo diferencial, aprendimos que la derivada f, prime de una función f nos da la razón de cambio instantáneo de f en un punto dado. ¡Ahora vamos al revés! Para cualquier función de razón f, su antiderivada F nos da el valor acumulado de la cantidad cuya razón describe f.
Cantidad | Razón | |
---|---|---|
Cálculo diferencial | f, left parenthesis, x, right parenthesis | f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis |
Cálculo integral | F, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, x, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t | f, left parenthesis, x, right parenthesis |
¿Quieres más práctica? Intenta este ejercicio.
¿Quieres unirte a la conversación?
- ¿De dónde salió lo de
6sin(0,3t)
en el ejemplo del tanque cuando se llena a razón no constante?(8 votos)- Es una razón dada que vas a utilizar para hacer tu cálculo mediante la integración para posteriormente hacer tu sustitución con los valores 6 y 0.(2 votos)
- lo hice todo bien, soy god y la universidad me la pela(6 votos)
- Ayudaaaa... no me sale el resultado de la razón planteada: 6sin(0.3t) = 24.51 no sé de dónde sale, no da al hacer la resta de los cosenos.(4 votos)
- En el 2do ejemplo, ¿Cómo da de resultado 24.51 en la razón no constante? ¿Se deriva el seno y luego el 0.3t se multiplica por el número inferior y superior? No entiendo cómo sale la aproximación del resultado dado. Ayuda(3 votos)
- tener un poco mas de practica(2 votos)
- En el ejemplo de "¿Por qué "cambio neto" en esa cantidad y no simplemente la cantidad?" la condición inicial sería el 7?(1 voto)
- No me sale el resultado k(t)(1 voto)