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Exploración de acumulaciones de cambio

Las integrales definidas se interpretan como la acumulación de cantidades. Aprende por qué esto es así y cómo puede usarse este hecho para analizar contextos de la vida real.
La integral definida puede usarse para expresar información sobre la acumulación y el cambio neto en contextos aplicados. Veamos cómo.

Pensar sobre acumulación en un contexto del mundo real

Digamos que un tanque se llena de agua a una razón constante de start color #11accd, 5, start text, space, l, slash, m, i, n, end text, end color #11accd (litros por minuto) durante start color #ca337c, 6, start text, space, m, i, n, end text, end color #ca337c. Podemos encontrar el volumen de agua (en start text, l, end text) al multiplicar el tiempo y la razón:
Volumen=Tiempo×Razoˊn=6min5lmin=30minlmin=30l\begin{aligned} \text{Volumen}&=\maroonD{\text{Tiempo}}\times\blueD{\text{Razón}} \\ &=\maroonD{6\,\text{min}}\cdot\blueD{5\,\dfrac{\text{l}}{\text{min}}} \\ &=30\dfrac{\cancel{\text{min}}\cdot\text{l}}{\cancel{\text{min}}} \\ &=30\,\text{l} \end{aligned}
Ahora considera este caso gráficamente. La razón puede representarse por la función constante r, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 5:
Se grafica la función r sub 1. El tiempo en minutos está en en el eje x, que va de 0 a 10. La razón, en litros por minuto, está en el eje y. La gráfica es una recta. La recta empieza en (0, 5), se extiende de manera horizontal hacia la derecha y termina en (10, 5).
Cada unidad horizontal en esta gráfica se mide en minutos y cada unidad vertical se mide en litros por minuto, por lo que el área de cada unidad cuadrada se mide en litros:
start underbrace, start text, m, i, n, end text, end underbrace, start subscript, start text, b, a, s, e, end text, end subscript, dot, start underbrace, start fraction, start text, l, end text, divided by, start text, m, i, n, end text, end fraction, end underbrace, start subscript, start text, a, l, t, u, r, a, end text, end subscript, equals, start underbrace, start text, l, end text, end underbrace, start subscript, start text, a, with, \', on top, r, e, a, end text, end subscript
En una gráfica, un cuadrado representa una unidad. El ancho horizontal representa los minutos y la altura vertical representa los litros por minuto. El área dentro del cuadrado representa los litros. La ecuación para calcular el área es ancho por altura = área, o minutos por litros por minuto = litros.
Más aún, el área del rectángulo acotado por la gráfica de r, start subscript, 1, end subscript y el eje horizontal entre t, equals, 0 y t, equals, 6 nos da el volumen del agua después de 6 minutos:
Se grafica la función r sub 1. Un área rectangular por abajo de la recta está sombreada. El área se extiende de 0 a 6 minutos y de 0 a 5 litros por minuto. El área del rectángulo se calcula como 6 minutos por 5 litros por minuto = 30 litros.
Digamos ahora que otro tanque se llena, pero esta vez la razón no es constante:
r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 6, sine, left parenthesis, 0, point, 3, t, right parenthesis
Se grafica la función r sub 2. El tiempo en minutos está en el eje x, que va de 0 a 10. La razón, en litros por minuto, está en el eje y. La gráfica es una curva. La curva empieza en (0, 0), se mueve hacia arriba con concavidad hacia abajo hasta aproximadamente (5.2, 6), se mueve hacia abajo con concavidad hacia abajo y termina en aproximadamente (10, 0.8).
¿Cómo podemos determinar el volumen de agua en este tanque después de 6 minutos? Para lograrlo, pensemos en la aproximación por suma de Riemann del área bajo esta curva entre t, equals, 0 y t, equals, 6. Por conveniencia, usaremos una aproximación en la que la base de cada rectángulo tiene 1 minuto de longitud.
Se grafica la función anterior, r sub 2. Seis barras rectangulares, cada una de ancho 1 unidad, o 1 minuto, se elevan de manera vertical desde el eje horizontal hasta la curva, desde 0 hasta 6 minutos. Cada barra se mueve hacia arriba de modo que su vértice superior derecho toca la curva. Los vértices superiores izquierdos de los cinco rectángulos desde 0 hasta 5 están fuera de la curva. Cada rectángulo tiene menos área fuera de la curva que el anterior. El sexto rectángulo está completamente dentro de la curva. De izquierda a derecha, los rectángulos tienen las siguientes alturas aproximadas. 1.8, 3.4, 4.7, 5.6, 6, 5.9.
Vimos cómo cada rectángulo representa un volumen en litros. Específicamente, cada rectángulo en esta suma de Riemann es una aproximación del volumen de agua que se agregó al tanque cada minuto. Cuando sumamos todas las áreas, es decir, cuando todos los volúmenes se acumulan, obtenemos la aproximación para el volumen total de agua después de 6 minutos.
Conforme usamos más rectángulos con bases más pequeñas, obtenemos una mejor aproximación. Si tomamos este procedimiento en el límite de acumular un número infinito de rectángulos, obtendremos la integral definida integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 6, end superscript, r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t. Esto significa que el volumen exacto de agua después de 6 minutos es igual al área encerrada por la gráfica de r, start subscript, 2, end subscript y el eje horizontal entre t, equals, 0 y t, equals, 6 .
Se grafica la función r sub 2. El área entre la curva y el eje t, entre t = 1 y t = 6, está sombreada.
Y así, el cálculo integral nos permite encontrar el volumen total después de 6 minutos:
integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 6, end superscript, r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, approximately equals, 24, point, 5, start text, l, end text

La integral definida de la razón de cambio de una cantidad nos da el cambio neto de esa cantidad.

En el ejemplo que vimos, teníamos una función que describe una razón. En nuestro caso, era la razón de volumen entre tiempo. La integral definida de esa función nos dio la acumulación de volumen —aquella cantidad cuya razón fue dada—.
Otra característica importante aquí fue el intervalo de tiempo de la integral definida. En nuestro caso, el intervalo de tiempo fue el comienzo left parenthesis, t, equals, 0, right parenthesis y 6 minutos después de este left parenthesis, t, equals, 6, right parenthesis, por lo que la integral definida nos dio el cambio neto en la cantidad de agua en el tanque entre t, equals, 0 y t, equals, 6.
Estas son dos formas comunes de pensar sobre las integrales definidas: describen la acumulación de una cantidad, por lo que la integral definida completa nos da el cambio neto en esa cantidad.

¿Por qué "cambio neto" en esa cantidad y no simplemente la cantidad?

Usando el ejemplo anterior, observa cómo no se nos dijo si había algo de agua en el tanque antes de t, equals, 0. Si el tanque estuviera vacío, entonces integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 6, end superscript, r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, approximately equals, 24, point, 5, start text, l, end text es realmente la cantidad de agua en el tanque después de 6 minutos, pero su el tanque ya contenía, digamos, 7 litros de agua, entonces el volumen real del agua en el tanque después de 6 minutos es:
start underbrace, 7, end underbrace, start subscript, start text, v, o, l, u, m, e, n, space, e, n, space, end text, t, equals, 0, end subscript, plus, start overbrace, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 6, end superscript, r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, end overbrace, start superscript, start text, c, a, m, b, i, o, space, e, n, space, e, l, space, v, o, l, u, m, e, n, space, d, e, space, end text, t, equals, 0, start text, space, a, space, end text, t, equals, 6, end superscript
Que es aproximadamente 7, plus, 24, point, 5, equals, 31, point, 5, start text, space, l, end text.
Recuerda: la integral definida siempre nos da el cambio neto en una cantidad, no el valor real de esa cantidad. Para encontrar el valor real, necesitamos sumar una condición inicial a la integral definida.
Problema 1.A
El conjunto de problemas 1 te guiará a través del proceso de estudiar un contexto que involucra acumulación:
En el tiempo t, una población de bacterias crece a una razón de r, left parenthesis, t, right parenthesis gramos al día, donde t se mide en días.
Se grafica la función r. El tiempo en días está en el eje x, que va de 0 a 10. La razón de crecimiento, en gramos por día, está en el eje y. La gráfica es una curva. La curva empieza en (0, 1), se mueve hacia arriba con concavidad hacia arriba a través de (8, 5) y termina en aproximadamente (10, 7.3). El área entre la curva y el eje x, entre t = 0 y t = 8, está sombreada.
¿Cuáles son las unidades de la cantidad representada por la integral definida integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 8, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t?
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Error común: usar unidades equivocadas

Como con todos los problemas aplicados, las unidades juegan un papel fundamental aquí. Recuerda que si r es una función de razón que se mide en start fraction, start color #11accd, start text, C, a, n, t, i, d, a, d, space, A, end text, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, start text, C, a, n, t, i, d, a, d, space, B, end text, end color #ca337c, end fraction, entonces su integral definida se mide en start color #11accd, start text, C, a, n, t, i, d, a, d, space, A, end text, end color #11accd.
Por ejemplo, en el conjunto de problemas 1, r se mide en start fraction, start color #11accd, start text, g, r, a, m, o, s, end text, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, start text, d, ı, with, \', on top, a, end text, end color #ca337c, end fraction, y entonces la integral definida de r se mide en start color #11accd, start text, g, r, a, m, o, s, end text, end color #11accd.
Problema 2
Eden caminó a una razón de r, left parenthesis, t, right parenthesis kilómetros por hora (donde t es el tiempo en horas).
¿Qué representa la expresión integral, start subscript, 2, end subscript, cubed, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, equals, 6?
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Error común: malinterpretar el intervalo de integración

Para cualquier función r, la integral definida integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t describe la acumulación de valores entre t, equals, a y t, equals, b.
Un error común es no tomar en cuenta uno de los límites de integración (usualmente, el menor), lo que resulta en una interpretación equivocada.
Por ejemplo, en el problema 2, sería una equivocación interpretar integral, start subscript, 2, end subscript, cubed, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t como la distancia que caminó Eden en 3 horas. El límite inferior es 2, por lo que integral, start subscript, 2, end subscript, cubed, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t es la distancia que Eden caminó entre la 2, point, start superscript, start text, a, end text, end superscript y la 3, point, start superscript, start text, a, end text, end superscript horas.
Problema 3
La ganancia de Julia es r, left parenthesis, t, right parenthesis miles de pesos por mes (donde t es el mes del año). Julia ha ganado 3 mil pesos en el primer mes del año.
¿Qué significa la expresión 3, plus, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, 5, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, equals, 19?
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Error común: ignorar las condiciones iniciales

Para una función de razón f y una antiderivada F, la integra definida integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t nos da el cambio neto de F entre t, equals, a y t, equals, b. Si sumamos una condición inicial, obtendremos el valor real de F.
Por ejemplo, en el problema 3, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, 5, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t representa el cambio en la cantidad de dinero que Julia ganó entre el 1, point, start superscript, start text, e, r, end text, end superscript y el 5, point, start superscript, start text, o, end text, end superscript meses. Pero como sumamos 3, que es la cantidad de dinero que tenía Julia en el 1, point, start superscript, start text, e, r, end text, end superscript mes, la expresión ahora representa la cantidad real en el 5, point, start superscript, start text, o, end text, end superscript mes.

Conexión con las razones de cambio aplicadas

En cálculo diferencial, aprendimos que la derivada f, prime de una función f nos da la razón de cambio instantáneo de f en un punto dado. ¡Ahora vamos al revés! Para cualquier función de razón f, su antiderivada F nos da el valor acumulado de la cantidad cuya razón describe f.
CantidadRazón
Cálculo diferencialf, left parenthesis, x, right parenthesisf, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
Cálculo integralF, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, x, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, tf, left parenthesis, x, right parenthesis
Problema 4
La función k, left parenthesis, t, right parenthesis nos da la cantidad de salsa de tomate (en kilogramos) que se produce en una fábrica de salsas en el tiempo t (en horas) un día cualquiera.
¿Qué representa la expresión integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 4, end superscript, k, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t?
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¿Quieres más práctica? Intenta este ejercicio.

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  • Avatar piceratops ultimate style para el usuario Daniel García
    ¿De dónde salió lo de 6sin(0,3t) en el ejemplo del tanque cuando se llena a razón no constante?
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  • Avatar spunky sam blue style para el usuario VICTOR HUGO VELAZQUEZ
    Ayudaaaa... no me sale el resultado de la razón planteada: 6sin(0.3t) = 24.51 no sé de dónde sale, no da al hacer la resta de los cosenos.
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  • Avatar aqualine seed style para el usuario Juan Enrique Medina Velázquez
    tener un poco mas de practica
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  • Avatar blobby green style para el usuario Catherine Machado
    En el 2do ejemplo, ¿Cómo da de resultado 24.51 en la razón no constante? ¿Se deriva el seno y luego el 0.3t se multiplica por el número inferior y superior? No entiendo cómo sale la aproximación del resultado dado. Ayuda
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  • Avatar blobby green style para el usuario Catherine Machado
    En el ejemplo de "¿Por qué "cambio neto" en esa cantidad y no simplemente la cantidad?" la condición inicial sería el 7?
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  • Avatar blobby green style para el usuario Oliver Ibarra
    No me sale el resultado k(t)
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  • Avatar starky seedling style para el usuario smontanar
    lo hice todo bien, soy god y la universidad me la pela
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