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6° Semestre Bachillerato

Curso: 6° Semestre Bachillerato > Unidad 2

Lección 1: Acumulación de cambio y sumas de Riemann

Exploración de acumulaciones de cambio

Las integrales definidas se interpretan como la acumulación de cantidades. Aprende por qué esto es así y cómo puede usarse este hecho para analizar contextos de la vida real.
La integral definida puede usarse para expresar información sobre la acumulación y el cambio neto en contextos aplicados. Veamos cómo.

Pensar sobre acumulación en un contexto del mundo real

Digamos que un tanque se llena de agua a una razón constante de 5 l/min (litros por minuto) durante 6 min. Podemos encontrar el volumen de agua (en l) al multiplicar el tiempo y la razón:
Volumen=Tiempo×Razón=6min5lmin=30minlmin=30l
Ahora considera este caso gráficamente. La razón puede representarse por la función constante r1(t)=5:
Se grafica la función r sub 1. El tiempo en minutos está en en el eje x, que va de 0 a 10. La razón, en litros por minuto, está en el eje y. La gráfica es una recta. La recta empieza en (0, 5), se extiende de manera horizontal hacia la derecha y termina en (10, 5).
Cada unidad horizontal en esta gráfica se mide en minutos y cada unidad vertical se mide en litros por minuto, por lo que el área de cada unidad cuadrada se mide en litros:
minbaselminaltura=lárea
En una gráfica, un cuadrado representa una unidad. El ancho horizontal representa los minutos y la altura vertical representa los litros por minuto. El área dentro del cuadrado representa los litros. La ecuación para calcular el área es ancho por altura = área, o minutos por litros por minuto = litros.
Más aún, el área del rectángulo acotado por la gráfica de r1 y el eje horizontal entre t=0 y t=6 nos da el volumen del agua después de 6 minutos:
Se grafica la función r sub 1. Un área rectangular por abajo de la recta está sombreada. El área se extiende de 0 a 6 minutos y de 0 a 5 litros por minuto. El área del rectángulo se calcula como 6 minutos por 5 litros por minuto = 30 litros.
Digamos ahora que otro tanque se llena, pero esta vez la razón no es constante:
r2(t)=6sin(0.3t)
Se grafica la función r sub 2. El tiempo en minutos está en el eje x, que va de 0 a 10. La razón, en litros por minuto, está en el eje y. La gráfica es una curva. La curva empieza en (0, 0), se mueve hacia arriba con concavidad hacia abajo hasta aproximadamente (5.2, 6), se mueve hacia abajo con concavidad hacia abajo y termina en aproximadamente (10, 0.8).
¿Cómo podemos determinar el volumen de agua en este tanque después de 6 minutos? Para lograrlo, pensemos en la aproximación por suma de Riemann del área bajo esta curva entre t=0 y t=6. Por conveniencia, usaremos una aproximación en la que la base de cada rectángulo tiene 1 minuto de longitud.
Se grafica la función anterior, r sub 2. Seis barras rectangulares, cada una de ancho 1 unidad, o 1 minuto, se elevan de manera vertical desde el eje horizontal hasta la curva, desde 0 hasta 6 minutos. Cada barra se mueve hacia arriba de modo que su vértice superior derecho toca la curva. Los vértices superiores izquierdos de los cinco rectángulos desde 0 hasta 5 están fuera de la curva. Cada rectángulo tiene menos área fuera de la curva que el anterior. El sexto rectángulo está completamente dentro de la curva. De izquierda a derecha, los rectángulos tienen las siguientes alturas aproximadas. 1.8, 3.4, 4.7, 5.6, 6, 5.9.
Vimos cómo cada rectángulo representa un volumen en litros. Específicamente, cada rectángulo en esta suma de Riemann es una aproximación del volumen de agua que se agregó al tanque cada minuto. Cuando sumamos todas las áreas, es decir, cuando todos los volúmenes se acumulan, obtenemos la aproximación para el volumen total de agua después de 6 minutos.
Conforme usamos más rectángulos con bases más pequeñas, obtenemos una mejor aproximación. Si tomamos este procedimiento en el límite de acumular un número infinito de rectángulos, obtendremos la integral definida 06r2(t)dt. Esto significa que el volumen exacto de agua después de 6 minutos es igual al área encerrada por la gráfica de r2 y el eje horizontal entre t=0 y t=6 .
Se grafica la función r sub 2. El área entre la curva y el eje t, entre t = 1 y t = 6, está sombreada.
Y así, el cálculo integral nos permite encontrar el volumen total después de 6 minutos:
06r2(t)dt24.5l

La integral definida de la razón de cambio de una cantidad nos da el cambio neto de esa cantidad.

En el ejemplo que vimos, teníamos una función que describe una razón. En nuestro caso, era la razón de volumen entre tiempo. La integral definida de esa función nos dio la acumulación de volumen —aquella cantidad cuya razón fue dada—.
Otra característica importante aquí fue el intervalo de tiempo de la integral definida. En nuestro caso, el intervalo de tiempo fue el comienzo (t=0) y 6 minutos después de este (t=6), por lo que la integral definida nos dio el cambio neto en la cantidad de agua en el tanque entre t=0 y t=6.
Estas son dos formas comunes de pensar sobre las integrales definidas: describen la acumulación de una cantidad, por lo que la integral definida completa nos da el cambio neto en esa cantidad.

¿Por qué "cambio neto" en esa cantidad y no simplemente la cantidad?

Usando el ejemplo anterior, observa cómo no se nos dijo si había algo de agua en el tanque antes de t=0. Si el tanque estuviera vacío, entonces 06r2(t)dt24.5l es realmente la cantidad de agua en el tanque después de 6 minutos, pero su el tanque ya contenía, digamos, 7 litros de agua, entonces el volumen real del agua en el tanque después de 6 minutos es:
7volumen en t=0+06r2(t)dtcambio en el volumen de t=0 a t=6
Que es aproximadamente 7+24.5=31.5 l.
Recuerda: la integral definida siempre nos da el cambio neto en una cantidad, no el valor real de esa cantidad. Para encontrar el valor real, necesitamos sumar una condición inicial a la integral definida.
Problema 1.A
El conjunto de problemas 1 te guiará a través del proceso de estudiar un contexto que involucra acumulación:
En el tiempo t, una población de bacterias crece a una razón de r(t) gramos al día, donde t se mide en días.
Se grafica la función r. El tiempo en días está en el eje x, que va de 0 a 10. La razón de crecimiento, en gramos por día, está en el eje y. La gráfica es una curva. La curva empieza en (0, 1), se mueve hacia arriba con concavidad hacia arriba a través de (8, 5) y termina en aproximadamente (10, 7.3). El área entre la curva y el eje x, entre t = 0 y t = 8, está sombreada.
¿Cuáles son las unidades de la cantidad representada por la integral definida 08r(t)dt?
Escoge 1 respuesta:

Error común: usar unidades equivocadas

Como con todos los problemas aplicados, las unidades juegan un papel fundamental aquí. Recuerda que si r es una función de razón que se mide en Cantidad ACantidad B, entonces su integral definida se mide en Cantidad A.
Por ejemplo, en el conjunto de problemas 1, r se mide en gramosdía, y entonces la integral definida de r se mide en gramos.
Problema 2
Eden caminó a una razón de r(t) kilómetros por hora (donde t es el tiempo en horas).
¿Qué representa la expresión 23r(t)dt=6?
Escoge 1 respuesta:

Error común: malinterpretar el intervalo de integración

Para cualquier función r, la integral definida abr(t)dt describe la acumulación de valores entre t=a y t=b.
Un error común es no tomar en cuenta uno de los límites de integración (usualmente, el menor), lo que resulta en una interpretación equivocada.
Por ejemplo, en el problema 2, sería una equivocación interpretar 23r(t)dt como la distancia que caminó Eden en 3 horas. El límite inferior es 2, por lo que 23r(t)dt es la distancia que Eden caminó entre la 2.a y la 3.a horas.
Problema 3
La ganancia de Julia es r(t) miles de pesos por mes (donde t es el mes del año). Julia ha ganado 3 mil pesos en el primer mes del año.
¿Qué significa la expresión 3+15r(t)dt=19?
Escoge 1 respuesta:

Error común: ignorar las condiciones iniciales

Para una función de razón f y una antiderivada F, la integra definida abf(t)dt nos da el cambio neto de F entre t=a y t=b. Si sumamos una condición inicial, obtendremos el valor real de F.
Por ejemplo, en el problema 3, 15r(t)dt representa el cambio en la cantidad de dinero que Julia ganó entre el 1.er y el 5.o meses. Pero como sumamos 3, que es la cantidad de dinero que tenía Julia en el 1.er mes, la expresión ahora representa la cantidad real en el 5.o mes.

Conexión con las razones de cambio aplicadas

En cálculo diferencial, aprendimos que la derivada f de una función f nos da la razón de cambio instantáneo de f en un punto dado. ¡Ahora vamos al revés! Para cualquier función de razón f, su antiderivada F nos da el valor acumulado de la cantidad cuya razón describe f.
CantidadRazón
Cálculo diferencialf(x)f(x)
Cálculo integralF(x)=axf(t)dtf(x)
Problema 4
La función k(t) nos da la cantidad de salsa de tomate (en kilogramos) que se produce en una fábrica de salsas en el tiempo t (en horas) un día cualquiera.
¿Qué representa la expresión 04k(t)dt?
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