Interpretar el comportamiento de funciones de acumulación

En el cálculo diferencial, razonamos sobre las propiedades de una función $f$‍ basados en información dada sobre su derivada $f^{\prime }$‍. En cálculo integral, en vez de hablar de funciones y sus derivadas, hablaremos de funciones y sus antiderivadas.

Esta es la gráfica de la función $f$‍.

Sea $g(x)={\displaystyle {\int }_0^{x}f(t)dt}$‍. Definida de esta forma, $g$‍ es una antiderivada de $f$‍. En cálculo diferencial, escribiríamos esto como $g^{\prime }=f$‍. Como $f$‍ es la derivada de $g$‍, podemos razonar sobre las propiedades de $g$‍ de la misma manera que lo hicimos en cálculo diferencial.

Por ejemplo, $f$‍ es positiva en el intervalo $[0,10]$‍, por lo que $g$‍ debe ser creciente en este intervalo.

Más aún, $f$‍ cambia su signo en $x=10$‍, por lo que $g$‍ debe tener un extremo ahí. Como $f$‍ va de positiva a negativa, ese punto debe ser un punto máximo.

Los ejemplos anteriores nos mostraron cómo podemos razonar sobre los intervalos donde $g$‍ crece o decrece y sobre sus extremos relativos. También podemos razonar sobre la concavidad de $g$‍. Como $f$‍ es creciente en el intervalo $[-2,5]$‍, sabemos que $g$‍ es cóncava hacia arriba en ese intervalo, y como $f$‍ es decreciente en el intervalo $[5,13]$‍, sabemos que $g$‍ es cóncava hacia abajo en ese intervalo. $g$‍ cambia de concavidad en $x=5$‍, por lo que tiene un punto de inflexión ahí.

Es importante no confundir qué propiedades de la función se relacionan con cuáles propiedades de su antiderivada. Muchos estudiantes se confunden y cometen toda clase de inferencias equivocadas, como decir que una antiderivada es positiva porque la función es creciente (de hecho, es al revés).

Esta tabla suma todas las relaciones entre las propiedades de una función y su antiderivada.